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Presentación del grupo 6179 - 2011-2.

SeminariodeFilosofía de la Ciencia III“Historia de la Teoría de los Números Transfinitos”Dr. Alejandro Garciadiego DantanDepartamento de Matemáticas, 016Facultad de Ciencias, Ciudad UniversitariaUniversidad Nacional Autónoma de México04510 México, D. F.Tel.: 5622 4858 y 5622 5414Fax: 5622 4859correo electr.: gardan@servidor.unam.mxClases: Martes, miércoles y jueves de 8:00 a 10:00 horas, salón S-104, Depto. MatemáticasAyudante: M. en A. Carlos I. Lingan PérezAyudantías: Lunes y viernes (misma hora y mismo salón)(Véase, también: Seminario sobre Enseñanza de las Matemáticas III)I. INTRODUCCIÓNLa finalidad de este curso es familiarizar a los estudiantes con el estudio de la historia del desarrollo de la teoría de los números cardinales y ordinales transfinitos de Cantor y con algunas de sus consecuencias más importantes; en particular, el surgimiento de una nueva rama de las matemáticas conocida como ‘fundamentos de las matemáticas’. El análisis se llevará a cabo a través del estudio de fuentes primarias y secundarias. Este no es un curso meramente ‘culturalista’. No se trata de asimilar una cantidad considerable de fechas y datos, aparentemente muy interesantes, pero desprovistos de contenido y significado por sí mismos. Motiva mayormente entender por qué distintos intelectuales del pasado decidieron intentar contestar ciertas preguntas o resolver ciertos problemas. Interesa comprender las herramientas con las que contaban, y estudiar sus posibles respuestas.Idealmente los conceptos e ideas que conforman este curso deberían formar parte del repertorio intelectual de cualquier persona educada, no únicamente de matemáticos y otros científicos. Por consiguiente el curso está abierto y dirigido a todo estudiante, independientemente de su formación.Las lecciones se impartirán los días martes, miércoles y jueves. Cada sesión será conducida en forma de seminario y estará dedicada a la discusión de las lecturas asignadas para cada una de las clases.Los estudiantes deberán estudiar cuidadosamente las lecturas asignadas antes de clase y llegar al salón preparados con preguntas y observaciones para la discusión que deberá surgir como consecuencia de las lecturas.Los textos básicos del curso son:1. Alejandro R. Garciadiego y Enrique Martínez. Uno, dos, tres, …, infinito, …, y más allá. Madrid: Nivola (aceptado para publicación).2. Abraham A. Fraenkel. Teoría de los Conjuntos y Lógica. México: UNAM. 1976. (Instituto de Investigaciones Filosóficas. Cuadernos # 31).En caso de no contar con ellos en el momento deseado, también pueden ser consultados:1. Bertrand Russell. Introducción a la filosofía matemática, contenido en: Obras Completas. Madrid: Aguilar. 1973. Vol II, págs. 1263 - 1390. También editado en forma individual por: Barcelona: Paidos. 1988.2. Ivor Grattan-Guinness (editor). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introducción histórica. Madrid: Alianza Editorial. 1984. (Col. Alianza Universidad # 387).La evaluación del curso estará determinada por la presentación de: 1) dos reseñas y un trabajo final; 2) la asistencia continua y puntual; y, 3) la participación activa. Las reseñas deberán ser presentadas escritas a máquina, en papel blanco tamaño carta, a doble espacio. El texto de la reseña deberá tener una longitud mínima de cinco (5) cuartillas y una máxima de siete (7), independientemente de las referencias y notas. No se aceptarán trabajos que no cumplan con estas normas. Para realizar sus reseñas los estudiantes deberán consultar el ensayo publicado por el Prof. Garciadiego y mencionado como la primera lectura del curso. Los estudiantes deberán consultar, además, revistas de investigación en historia y filosofía de las ciencias para comprender cómo debe hacerse una reseña. Una reseña aceptable no puede ni debe limitarse a la lectura única del libro asignado.El trabajo final debe tener una longitud mínima de quince cuartillas y deberá estar asociado con cualquiera de los temas discutidos a lo largo del curso. El formato, enfoque, presentación y nivel del mismo será determinado por cada uno de los interesados.Las fechas de presentación y los ensayos a reseñar son:1. Jueves 3 marzo (quinta semana de clases). Introducción de José Ferreirós a Georg Cantor. Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Barcelona: Crítica. 2006. (Col. Clásicos de la ciencia y la tecnología). Págs 9 – 78.2. Jueves 8 marzo (décima semana de clases).Clara H. Sánchez. “Contribuciones a la Fundamentación de la Teoría de los Números Transfinitos. Una Introducción”. Mathesis III 22 (2007) 345 – 385.3. Jueves 9 junio. Entrega trabajo final.Las calificaciones que se pueden obtener en el curso son:NP=para aquellos que no hayan presentado alguna de las reseñas en la fecha acordada, no se haya presentado a examen final o tenga menos del 80% de asistencias a clase;5=(0 - 5.9), para aquellos que no manejan el material mínimo de la materia;6=(6 - 6.9), para aquellos que manejan superficialmente el material que se estudió durante el curso;7=(7 - 7.9), para aquellos que manejan adecuadamente el material asignado en clases y no se limitaron sólo a éste;8=8 - 8.9, para aquellos que manejan bien el material asignado en clase y otro complementario;9=9 - 9.5, para aquellos que manejan muy bien material avanzado;10=9.5 - 10, para aquellos que hayan realizado un trabajo extraordinario.II. TEMARIOSegunda semana de clases (7 - 11 feb)TEMA 2. INTRODUCCIÓN AL CURSO.- ¿Qué es la historia de las ciencias y de las matemáticas? Descripción de algunos de los elementos necesarios para llevar a buen término investigación en la historia de las ideas y de algunas de las fuentes a nuestro alcance.Lecturas:Alejandro Garciadiego. “Historia de las ideas matemáticas: un manual introductorio de investigación”. Mathesis 121 (1996) 3 - 113.Tercera semana de clases (14 – 18 feb)TEMA 3. TEORÍA DE CONJUNTOS, UNA INTRODUCCIÓN.- En esta primera sesión se discutirá cuáles son los elementos fundamentales de la teoría de conjuntos. Se analizarán algunos de los resultados técnicos más importantes.Lecturas:Garciadiego y Martínez. Op. Cit.Cuarta semana de clases (21 - 25 feb)TEMA 4. GENERALIDADES.- Bosquejo general de los fundamentos de las matemáticas. ¿Cuáles son las hipótesis básicas de este relato? ¿Cómo se podría sintetizar la ‘interpretación estandar’ de este evento?Lecturas:Carl B. Boyer. Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial. 1986. (Col. Alianza Universidad Textos # 94). Capítulo XXVII, págs. 754 - 757.Morris Kline. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días, III. Madrid: Alianza Editorial. 1992. (Col. Alianza Universidad # 729), págs. 1309 – 1324.Quinta semana de clases (28 feb – 4 mar)Presentación primera reseña (jueves 3 de marzo)TEMA 5. ALGUNOS ASPECTOS BIOGRÁFICOS DE CANTOR.- La literatura matemática ha formado una imagen desfavorable de la personalidad de Cantor, llena de mitos y leyendas. Se han presentado diversas interpretaciones de la influencia del padre de Cantor y de las críticas de sus colegas, así como de sus frecuentes estancias en clínicas para enfermos mentales.Lecturas:Eric T. Bell. Los grandes matemáticos. Buenos Aires: Editorial Losada. Capítulo XXIX, págs. 643 - 670.Ivor Grattan-Guinness. “Hacia una biografía de Georg Cantor”. Mathesis 82 (1992) 153-210.Sexta semana de clases (7 - 11 mar)TEMA 6. GENERALIDADES DE LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS CARDINALES Y ORDINALES TRANSFINITOS.- Breve bosquejo de algunos de los resultados más importantes —y que mayores implicaciones han tenido— para el desarrollo de los distintos estudios sobre los fundamentos de las matemáticas.Lecturas:Hans Hahn. “El infinito”, contenido en: James R. Newman (editor). Σ: El Mundo de las Matemáticas. Madrid: Editorial Grijalbo. 1974. Vol IV, págs. 384 - 401.Joseph W. Dauben. “Georg Cantor y la teoría de los conjuntos transfinitos”. Investigación y Ciencia No. 83 (agosto) 1983, págs. 82 – 93.Séptima semana de clases (14 - 25 mar)TEMA 7. EL GRÜNDLAGEN DE CANTOR.- En este ensayo defiende —con argumentos matemáticos, filosóficos y teológicos— su aceptación del infinito actual como un objeto existente en matemáticas. Expresa sus ideas sobre lo que posteriormente se llamaría la ‘hipótesis del continuo’ y el ‘axioma de elección’.Lecturas:Georg Cantor. Fundamentos de una teoría general de las multiplicidades. Barcelona: Crítica. 2005. Edición de José Ferreirós. Pp 83 - 157.Octava y novena semanas de clases (28 mar – 1 abr)TEMA 8. EL BEITRÄGE DE CANTOR.- En esta su obra sintética, Cantor expuso su construcción de los números cardinales finitos y mostró, entre otras cosas, que existen conjuntos cuyo número cardinal no es finito y que poseen características muy diferentes a las de los números finitos.Lecturas:Georg Cantor. Una introducción a la fundamentación de la teoría de los números transfinitos. Mathesis III 22 (2007) 387 – 403.Décima semana de clases (4 - 9 abr)Presentación segunda reseña (jueves 8 de marzo)TEMA 9. LA TRADICIÓN ITALIANA.- El trabajo de Peano y el de su escuela italiana. Sus intentos por construir un nuevo lenguaje universal, y la elaboración de sus famosos axiomas.Lecturas:Francisco Rodríguez-Consuegra. “La obra logicista de Peano y su escuela” Mathesis 42 (1988) 221 - 299.Giuseppe Peano. Los Principios de la Aritmética. Oviedo, España: Pentalfa ediciones. 1979. Introducción, versión castellana y bio-bibliografía de Julian Velarde L.Décima primera semana de clases (11 - 15 abr)TEMA 10. BURALI-FORTI Y CANTOR: EL ORIGEN DE LAS PARADOJAS.-El estudio de diversas fuentes primarias y secundarias nos permitirán juzgar en que términos Burali-Forti y Cantor pensaron haber descubierto las paradojas de la teoría de conjuntos.Lecturas:Cesare Burali-Forti. “Una questione sui numeri transfiniti”, contenido (en inglés) en: Jean van Heijenoort. From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879-1931.Camb, Mass.: Harvard University Press. 1967. págs. 104 - 111 [únicamente págs. 104, 110 - 111].Alberto Dou. Op. cit., págs. 65 - 68.Georg Cantor. “Letter to Dedekind”, contenido en: Jean van Heijenoort. Op. cit., págs. 113 - 117.Décima segunda semana de clases (18 – 22 abr)No hay labores (semana santa)Décimo tercera semana de clases (25 - 29 abr)TEMA 11. LOS PRINCIPIOS DE LAS MATEMÁTICAS (1903) DE BERTRAND RUSSELL.- Este libro contiene la primera exposición sistemática y popular de las implicaciones matemáticas de los resultados de las obras de Peano y Cantor. Más importante aún, propone una nueva filosofía de las matemáticas apoyándose en los resultados matemáticos anteriormente discutidos.Lecturas:Bertrand Russell. La evolución de mi pensamiento filosófico. Madrid: Alianza Editorial. 1982 (2da. ed.). (Col. Libros de Bolsillo No. 605). Págs. 6 - 74 y 271 - 295. Décimo cuarta semana de clases (2 – 6 may)TEMA 12. EL TEOREMA DEL BUEN ORDEN DE ZERMELO Y ALGUNAS DE LAS POLÉMICAS QUE GENERÓ.- En 1904, Ernst Zermelo demostró, por primera vez, el teorema del buen-orden haciendo uso explícito del axioma de elección. La publicación de esta breve nota provocó fuertes disputas entre matemáticos alemanes, franceses e ingleses, al menos.Lecturas:Gregory H. Moore. “The origins of Zermelo's axiomatization of set theory. Journal of Philosophical Logic 7 (1978) 307 - 329.Décimo quinta semana de clases (9 - 13 may)TEMA 13.PRIMERAS DISCUSIONES DE LOS PARADOJAS COMO CONSECUENCIA DE LAS POLÉMICAS EN TORNO AL TEOREMA DEL BUEN-ORDEN.- Las paradojas fueron inicialmente conocidas por los miembros de la comunidad matemática como consecuencia de las discusiones en torno a la prioridad de la demostración del teorema del buen-orden.Lecturas:Jules Richard. The principles of mathematics and the problems of sets, contenido en: Jean van Heijenoort. Op. cit., págs. 142 – 144.Bertrand Russell. La lógica matemática y su fundamentación en la teoría de tipos, contenido en: Bertrand Russell. Lógica y conocimiento, 1901-1950. Madrid: Taurus. 1966. (Col. Ensayistas de hoy, 48). Págs. 77 – 85.Henri Poincaré. Ciencia y Método. Madrid: Espasa-Calpe. (Col. Austral # 409). Libro II. Capítulo III, págs. 111 - 123.Décimo sexta semana de clases (16 - 20 may)TEMA 14. EL SURGIMIENTO DE OTRAS PARADOJAS: LAS SEMÁNTICAS.- Hasta ahora se ha supuesto el desarrollo de las paradojas no lógicas o semánticas como una simple consecuencia directa de las ya descubiertas por Burali-Forti, Cantor y Russell. Sin embargo, la lectura de las fuentes originales nos muestra que otros fueron sus orígenes.Lecturas:Alejandro Garciadiego. “Las paradojas semánticas”, contenido en: Alejandro Garciadiego Dantan. Bertrand Russell y los orígenes de las ‘paradojas’ de la teoría de conjuntos Madrid: Alianza editorial. 1992. (Col. Alianza Universidad # 714). Cap V. Págs. 167 - 187.Décimo séptima semana de clases (23 - 27 may)Síntesis y conclusionesPresentación trabajo final (jueves 9 de junio)_______________

 


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