Presentación del grupo 4208 - 2011-2.

El curso “Conjuntos y Lógica” fue pensado para estudiantes de los primeros cuatro semestres, especialmente para los de segundo y tercer semestre. Sin embargo son bienvenidos todos los estudiantes, incluso de semestres más avanzados que crean que puede servirles este curso introductorio.

La teoría de conjuntos estudia el concepto de conjunto y la relación de pertenencia. Es una teoría muy básica pero a la vez tan poderosa que puede considerarse el fundamento de toda la matemática clásica. Es tan elegante y rica que Hilbert la llamó “el paraíso que Cantor creo para nosotros”. La relación con la lógica es en ambos sentidos y en su estudio moderno, se complementan mutuamente.

La lógica inicialmente estudia el razonamiento correcto o válido. En particular los argumentos correctos o válidos. Las demostraciones en matemáticas son argumentos válidoso sucesiones finitas de ellos.

Este es un curso básico pero no trivial, que puede ser útil a cualquier estudiante de matemáticas. Es conveniente conocer el temario del curso. Por favor revisa antes el programa oficial, que puedes encontrar en la página:

http://www.matematicas.unam.mx/programas/bloque-I/conjuntos_y_logica.pdf

Dr. José Alfredo Amor

Profesor Titular

OBJETIVOS DEL CURSO

I.Introducir al alumno al lenguaje y los conceptos de la Teoría de los Conjuntos y de la Lógica Matemática, que sirven como base en la construcción de las teorías matemáticas.En otras palabras, dar al alumno los elementos necesarios de Teoría de Conjuntos y de Lógica Matematica, que le permitan expresar en su lenguaje, la estructura de las teorías matemáticas.

II.Aprender a reconocer la estructura lógica de los enunciados matemáticos mediante laintroducción de los criterios de verdad y de la simbología adecuada.

III.Hacer claro el concepto de demostración y distinguir los diferentes métodos de demostración de uso comúnen matemáticas.Diferenciar entre mostrar y demostrar.

IV.Entender la idea de descubrir o inventar una demostración y tener la certeza y claridadacerca de cuándo se ha logrado una demostración y cuándo no.Distinguir entre los elementos heurísticos y formales que intervienen en la actividad matemática; es decir, distinguir entre una demostración y el proceso de su descubrimiento.

TEMARIO

I. CONJUNTOS

1. Noción de conjunto.Noción de pertenenciaaun conjunto. Nocion de átomo o "urelemento".

2.Relaciones entre conjuntos: contención e igualdad de conjuntos,conjuntos y subconjuntos, conjunto vacío, conjunto unitario, conjunto potencia.

3.Álgebra de Conjuntos, operaciones con conjuntos: ∪, ∩, ∖, c. Unión e intersección generalizadas.

4.Diagramas de Venny diagramas de Euler. Representación de operaciones.

5.Relaciones:pares ordenados y productos cartesianos, dominio y codominio, imagen o rango de una relación. Operaciones con relaciones: inversa de una relación, composición de relaciones. Relaciones de orden sobre un conjunto: Conjunto Parcialmente Ordenado (COPO), Conjunto Totalmente Ordenado (COTO), Conjunto Bien Ordenado (COBO), Conjunto Densamente Ordenado (CODO). Cotas (máximo, mínimo, maximales, minimales,…). Qué afirma el Lema de Zorn.

6.Relaciones de equivalencia y particiones. El conjunto cociente, módulo una relación de equivalencia.

7.Funciones. Dominio y Codominio, Rango o Imagen.Igualdad de funciones. Función constante, gráfica de una función. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.Inversa de una función, funciones invertibles, composición de funciones.

8.Cardinalidad.Equipotencia de dos conjuntos.Teorema de Cantor conjuntos finitos y conjuntos infinitos. Conjuntos numerables y no numerables (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ).

9.Inducción y Recursión.Inducción finita y segundo principio de Inducción.Principio del no descenso infinito. Principio del Buen Orden.

II. LÓGICA

1. Forma lógica de un enunciado.

2.Simbolización de enunciados simples.Letras proposicionales y conectivos lógicos Sinonimia de conectivos:

i) A implicaB; si A entonces B; B, si A; A sólo si B; Aes suficiente para B; B es necesaria para A.

ii) A o B; A a menos que B; AoB o ambos.

iii)AyB; A pero B; ambos: A y B.

iv)No A; no es el caso que A; A, no.

3.Simbolización de argumentos simples.

4.Simbolización de enunciados tomando en consideración la estructura sujeto–predicado:predicados, constantes, variables y cuantificadores. Sinonimia de cuantificaciones:

i) Existe.…;hay un.…; para algún.…; hay al menos un.…

ii) Para todos.../para cada uno.../ para cualquiera.../

Ejemplos y más ejemplos de traducciones de enunciados(de contenido matemático y de contenido no matemático).

5. Criterios de verdad: criterios de verdad de conectivos, cuantificadores e igualdad y analizar a partir de ellos la verdad de cualquier enunciado mas complejo.

6.Equivalencias Lógicas elementales.Negación de una conjunción, de una disyunción , de una implicación, de un bicondicional.Negación de cuantificaciones universales y existenciales.Recíproca y contrapositiva de una implicación.LeyesDistributivas.

Optativo: uso de reglas de instanciación y generalización, universal y existencial.

III. ANÁLISIS DE ARGUMENTOS Y MÉTODOS DE PRUEBA

1.Relación entre las premisas y la conclusión un argumento. Distinción entre verdad de proposiciones y validez de argumentos. ¿ Qué quiere decir que “Ase sigue de H₁,...,H_n”?

2.Métodos de Prueba directos: especialmente de condicionales y de disyunciones.Prueba por casos, por vacuidad. Pruebas indirectas: por contraposición,por reducción al absurdo.

3.Prueba de una equivalencia múltiple por implicaciones simples.Combinación de los distintos métodos. Pruebas por inducción.

1. Amor J.A. Sobre un curso de Análisis Lógico, Educación Matemática Vol.6 No.2, Grupo Editorial Iberoamérica, 1994.

2. Badesa C., Jané I., Jansana R., Elementos de Lógica Formal, Ariel 1998.

3. Fernandez M., Preisser A., Segura L.F., Torres Y., Lógica Elemental., UAM, 1996.

4. Lipschutz, Teoría de conjuntos y temas afines, seria Schaums, Mc-Graw Hill.

5. Solow D., Como entender y hacer demostraciones en matemáticas, Limusa, 1987.

6. Zubieta Gonzalo, Manual de Lógica para estudiantes de Matemáticas, Trillas,1977.

7. Zubieta Gonzalo, Taller de Lógica Matemática, Mc Graw-Hill, 1993.

1. Caroll Lewis, El juego de la lógica, 1984.

2. Martínez Gallardo V., Introducción al análisis lógico: del lenguaje natural al lenguaje analítico, tesis UNAM, 1987.

4. National Council of teachers of mathematics, Sugerencias para resolver problemas, Temas de Matemáticas No.17, Trillas 1970.

5. Polya G., Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas, 1965.

6. Smullyan R. Alicia en el país de las adivinanzas,

7. Smullyan R. ¿Cómo se llama este libro?, colección teorema, Ediciones Cátedra, 1978.

8. Smullyan R. La dama y el tigre, colección teorema, Ediciones Cátedra, 1978.

Importante:HORARIO: Lunes a Viernes de 14 a 15 hs.CALENDARIO: 31 de enero al 27 de mayo 2011, en total 16 semanas de clase (11 semanas-clase+1semana-descanso+5semanas-clase). Exámenes: 30 de mayo - 10 de junio. Se aconseja no faltar, hacer todas las tareas obligatorias o no, en equipo, y presentar todos los exámenes. Lo más importante: preguntar siempre lo que no quede claro o aquello con lo que no estén de acuerdo.EVALUACIÓN: Habrá varias tareas y cuatro exámenes (el último será en la primera semana de exámenes ordinarios). Se aprueba el curso si y sólo si se aprueban todos los exámenes parciales. Sólo se pueden reponer dos exámenes parciales. Más de dos exámenes no aprobados obligan a examen final. Las reposiciones o el examen final se harán en la segunda semana de exámenes ordinarios, una sola vez.

ProfesorDr. José Alfredo Amor. Cubículo 218 Depto. Matematicas jaam@ciencias.unam.mx

Ayudante Alfonso Gonzalez López agonzalez26m@hotmail.com

Conceptos Básicos de Teoría de Conjuntos (con átomos)

José Alfredo Amor

1. INTRODUCCIÓN La Teoría de Conjuntos es la teoría matemática del infinito, que estudia por un lado un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y posiblemente otros objetos no conjuntos a los que llamaremos no-conjuntos o átomos o urelementos*. Por otro lado estudia una cierta relación binaria entre esos objetos, llamada pertenencia. La única relación indefinida en la teoría de conjuntos es la relación de pertenencia. Los objetos indefinidos de esta teoría usualmente son los conjuntos y los no-conjuntos, sin embargo para esta presentación podemos definirlos usando la relación indefinida de pertenencia y un conjunto indefinido muy particular que intuitivamente es el conjunto llamado “vacío”, porque no tiene elementos. Esto lo veremos más adelante.Para empezar, daremos algunas ideas intuitivas sobre los conceptos que acabamos de mencionar. Un conjunto es una colección de objetos en un todo, es una colección de objetos o multiplicidad, terminada y considerada como una unidad. Un no-conjunto (o átomo o urelemento) es un objeto que no es conjunto pero no es una colección de objetos. Los objetos que constituyen esas colecciones terminadas, pueden ser conjuntos o no-conjuntos, y se llaman sus elementos y están en la relación de pertenencia o de ser elemento de o de ser miembro de con el conjunto al que constituyen. Si B es un conjunto, y A es un objeto (conjunto o no-conjunto) que pertenece a B, esto lo denotamos con AÎB, lo cual se lee “A pertenece a B” o “A es elemento de B” o “A es miembro de B”. En caso contrario, si A no pertenece a B o no es un elemento de B, esto se denota AÏB.

*Estos objetos no-conjuntos, llamados también átomos o urelementos y que pueden ser elementos de conjuntos, son opcionales pues podemos tener una teoría de conjuntos con ellos o una teoría de conjuntos sin ellos, a la que podríamos llamar teoría de conjuntos pura.

La primera y más simple colección de objetos que podemos concebir en un todo es la colección que no tiene objetos, es decir la colección que tiene nada, a la cual le llamaremos conjunto vacío y lo denotaremos Æ.Es importante observar que aunque todo conjunto es una colección de objetos, veremos después que hay colecciones de objetos que no son conjuntos. Entonces por las ideas anteriores, las colecciones que no son conjuntos no son objeto de estudio de la teoría de conjuntos. Al hablar de objetos nos referimos a objetos de la teoría de conjuntos, es decir, a conjuntos y no-conjuntos. Obsérvese que dado que los objetos no-conjuntos no son colecciones, no les pertenece nada pero no son el conjunto vacío Æ, por lo que la relación de pertenencia entre un objeto cualquiera de la teoría y un objeto no-conjunto será siempre falsa.La importancia teórica de la teoría de conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la matemática. Por ejemplo, se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades como teoremas de la teoría de conjuntos: par, par ordenado, relación, función, partición, orden, buen orden, los números naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, todas las estructuras algebraicas como grupos, anillos, campos, y otro tipo de estructuras como los espacios vectoriales, los espacios topológicos, espacios métricos, etc. La importancia práctica radica en sus aplicaciones para resolver problemas y en su uso en otras teorías matemáticas y de otras ciencias, ya que los métodos e ideas teórico-conjuntistas se encuentran en casi toda la matemática y la ciencia moderna.

2. EL LENGUAJE DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Una parte esencial en el estudio de cualquier teoría es su lenguaje y en la teoría de conjuntos en particular esto es muy importante por ser una teoría tan básica y a la vez tan poderosa, que al precisar el lenguaje y con él, las suposiciones iniciales acerca de los conjuntos, no-conjuntos y la relación de pertenencia, se precisan estos conceptos indefinidos y quedan determinados implícitamente por esas suposiciones iniciales. El lenguaje de la teoría de conjuntos (TC) es un lenguaje formal de predicados con igualdad, que tiene como símbolos especiales a los siguientes:

Î(….es un elemento de.…)

Æ(el conjunto vacío)

=(….es igual a….)

a,b,c,…,w,x,y,z,x₁,x₂,x₃,….. (variables sobre objetos de la teoría, una cantidad numerable)

Por otro lado los símbolos lógicos usados son los siguientes:

Ø(no es verdad que….)

Ù(….y….)

Ú(….o….)

®(….implica…. )

«(….si y sólo si….)

" (para todo….)

$(existe….)

)(paréntesis derecho)

((paréntesis izquierdo)

Con estos símbolos, formamos afirmaciones o fórmulas, de acuerdo a las siguientes reglas de formación:

1.Las afirmaciones simples son sólo de las formas aÎb o a=b. Donde podemos reemplazar a o b por cualquier otra variable o por el conjunto vacío Æ.

2.Afirmaciones compuestas. Si j, ψ son afirmaciones, entonces (Øj), (jÙψ), (jÚψ), (j®ψ) y (j«ψ) son afirmaciones. Si j(x) es una afirmación que dice algo acerca de la variable x, entonces "xj(x) y $xj(x) son afirmaciones. Donde podemos reemplazar x por cualquier otra variable.

3.Las únicas afirmaciones del lenguaje de TC son las de las formas descritas en los incisos 1 y 2.

Para decir que a y b son objetos diferentes escribimos: Øa=b (que lo abreviaremos a¹b).Para decir que c es un objeto que no tiene elementos, escribimos: "y(ØyÎc) o"y(yÏc). Obsérvese que esto es cierto si c es el conjunto vacío y también es cierto si c es un no-conjunto o átomo. Pero es claro por lo dicho al principio que el conjunto vacíono es un átomo. Así pues, los objetos distintos del vacío que no tienen elementos son los átomos. Por otro lado, los objetos que sí tienen elementos o que sean el vacío, son los conjuntos. Esto lo podemos resumir en las siguientes dos definiciones:

Definición 1) x es un átomo (o no-conjunto o urelemento) si y sólo si "y(yÏx)Ù x¹Æ.

Definición 2) x es un conjunto si y sólo si x = ÆÚ$y(yÎx).

Para decir que hay un objeto que pertenece tanto a b como a c, escribimos: $x(xÎbÙ xÎc).

Para decir que w tiene a lo más dos objetos, escribimos: $x$y"z(zÎw « z = xÚ z = y).La primera relación entre conjuntos que vamos a definir, es la de ser subconjunto de.

Si a y b son conjuntos decimos que: a es subconjunto de b si y sólo si todo elemento de a es elemento de b. Esto lo denotamos con a ⊆ b lo cual abrevia la afirmación del lenguaje "z(zÎa®zÎb). Obsérvese que esta definición la damos solamente para conjuntos y para darla usamos únicamente la pertenencia y el lenguaje de la lógica.

Por una clase entenderemos una colección de objetos que está determinada o descrita por una propiedad enunciada por medio del lenguaje de TC con una fórmula con una sola variable no cuantificada. Así, dada una propiedad j(x), los objetos x que cumplen esa propiedad son exactamente los que pertenecen a la clase determinada por esa propiedad. A tal clase la denotaremos como {x / j(x)} y la expresión aÎ{x / j(x)} abreviaj(a).Veamos algunos ejemplos de clases que son conjuntos. Como Æ denota a un conjunto que no tiene elementos (conjunto vacío), entonces Æ ={ x / x ¹ x } y la propiedad es x ¹ x. Si {a, b} denota a un conjunto cuyos elementos son exactamente los objetos a y b, entonces {a, b} = {x / ( x=a Ú x=b)} aquí la propiedad es (x=a Ú x=b).

3. COLECCIONES: CLASES Y CONJUNTOS. Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante, pero podemos adelantar que una clase que no es un conjunto, a la que llamaremos clase propia, no es un objeto de estudio de la teoría de conjuntos ya que no es un conjunto pero sí es una colección. Estas clases propias no existen en la teoría de conjuntos, ya que como son colecciones, existir es sinónimo de ser un conjunto. Sin embargo, las clases propias se pueden concebir intuitivamente y podemos hablar de ellas, así como en la vida real hablamos de objetos no existentes como Santa Claus o Peter Pan, e incluso podemos tratarlos como si existieran aunque sabemos que no existen en la realidad. Así pues, podemos hablar de las clases propias y tratarlas de modo análogo como si fueran conjuntos, siempre que tengamos claro que no las podemos tratar igual que los conjuntos porque no son conjuntos.Como se mencionó anteriormente, una clase es una colección que está determinada por una propiedad j(x) formulada en nuestro lenguaje TC. Una clase es pues una colección cuyos objetos x son objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad j(x) que caracteriza a la colección. Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto. Obsérvese que si a es un conjunto, entonces a es la clase de los objetos x que cumplen la propiedad xÎa. Es decir, si a es un conjunto, a ={x / xÎa}.

Proposición 1.
La colección o clase de todos los conjuntos x tales que cumplen la propiedad xÏx, no es un conjunto.Demostración. Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle R. Así, R={x/ xÏx} y entonces: 1.Si RÏR, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y debe estar en R, por lo que RÎR.2.Si RÎR, entonces R debe cumplir la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos entonces que RÏR. Así pues, hemos mostrado que: RÎR si y sólo si RÏR. Esto es una contradicción, pues como RÎR o RÏR es verdad, (por la ley lógica del tercero excluido) entonces necesariamente se cumple que RÎR y RÏR, lo cual es absurdo! Concluimos que no es posible que dicha clase sea un conjunto; es una clase propia. A esta proposición se le conoce como la Paradoja de Russell.Por todo lo anterior es claro que resulta esencial poder distinguir cuáles colecciones son conjuntos y cuáles no. El concepto ingenuo de conjunto como colección determinada por una propiedad, es un concepto equivocado pues además de llevar a una contradicción como ya se probó, puede mostrarse que contradice una verdad lógica.[1]El concepto correcto de conjunto se adquiere al establecer algunas de las propiedades esenciales de los conjuntos y algunos de los procesos mentales con los que construimos conjuntos. Estos serán los principios o supuestos iniciales (o axiomas) de la teoría de conjuntos.Los primeros seis principios de la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel (ZF) son:

1.Extensionalidad: Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Es decir, si x, y son conjuntos entonces["z(zÎx « zÎy)] ® x = y

2.Conjunto Vacío: Hay un conjunto que no tiene objetos. Es decir, existe un conjunto denotado Æ tal que"y (y ∉Æ)

3.Conjunto Par: Para cualesquiera objetos a y b, la colección w={a, b} es un conjunto. Es decir, si a, b son objetos entonces hay un conjunto w tal que"z(zÎw«z = a Úz = b)

4.Conjunto Unión: Si C es un conjunto de conjuntos entonces la colección que tiene a los elementos de los elementos de C es un conjunto. Es decir, para todo C conjunto de conjuntos existe un conjunto y denotado ÈC, tal que"z[zÎy «$w(wÎC ÙzÎw)]

5.Conjunto Potencia: Si d es un conjunto, la colección de todos los subconjuntos de d es un conjunto. Es decir, para todo conjunto d existe un conjunto y llamado “potencia de d” y denotado P(d) tal que"z[zÎy«z⊆d]o sea"z[zÎy«"w(wÎz®wÎd)]

6.Esquema de Principios de Separación o de Comprehensión. Para cada j(x) propiedad acerca de objetos (en el lenguaje de la teoría de conjuntos), el siguiente es un principio: Si A es un conjunto cualquiera, la colección de los x elementos de A que cumplen la propiedad j(x), es un conjunto; es decir, si j(x) es una propiedad referente a objetos, entonces para cualquier conjunto A, la colección y={zÎA / j(z)} es un conjunto.Nótese que para cada propiedad j(x), se tiene un principio de separación. Es decir, si j(x) es una propiedad, entonces"A conjunto $y conjunto tal que "z[zÎy« zÎA Ùj(z)].

Proposición 2. Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece. Demostración.
Sea A un conjunto cualquiera. Sea D el conjunto de los objetos x que pertenecen al conjunto A, tales que cumplen la propiedad x Ï x. Es decir, D={ x / x ÎAÙ x Ï x }.De lo anterior, por el axioma de separación, se sigue que D sí es un conjunto que además es un subconjunto de A. Se afirma que D no pertenece al conjunto A, pues suponiendo que D pertenece al conjunto A, entonces se tiene que: 1.Si D no pertenece a D, entonces D debe pertenecer a D por cumplir la propiedad DÏD y por la suposición de que D pertenece al conjunto A. 2.Si D pertenece a D, entonces D debe cumplir la propiedad de no pertenecer a sí mismo, por lo tanto, D no pertenece a D. Las dos conclusiones anteriores juntas, implican que D pertenece a D y que D no pertenece a D, y esto es absurdo. Por lo tanto, se tiene que D no pertenece al conjunto A. Así pues, dado cualquier conjunto A, hay un conjunto D tal que D no pertenece al conjunto A.

Corolario.La colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

Demostración. Si fuera un conjunto, por la Proposición 2 habría un conjunto que no le pertenece y entonces ¡no es la colección de todos los conjuntos!Ningún conjunto puede tener como elementos suyos, a todos los conjuntos. Es decir, la clase de todos los conjuntos no es un conjunto; es una clase propia.