Presentación del grupo 4158 - 2011-2.

Ecuaciones Diferenciales I Semestre 2011-2 Grupo 4158

Prof. Eduardo Vizcaya xilotl@ciencias.unam.mx

Prof. Ayud. Mónica Canales botklein@yahoo.com

El sitio donde se pondrán las tereas y materiales complementarios:

https://sites.google.com/a/ciencias.unam.mx/ecuaciones1/

Acordamos que la evaluación sería asi:

No habrá examen final. Calificación final = 60 % exámenes parciales + 40 % tareas. Entre los exámenes habrá una tarea-examen. Habrá reposiciones siempre y cuando a lo más se hayan reprobado dos parciales.

A lo largo del curso decidiremos la forma y el tipo de software que podríamos emplear. El candidato más fuerte hasta ahora es Maple 10.

Temario:

1. Ecuaciones de primer orden

[2 exámenes]
Introducción al tema. Origen y evolución histórica y su relación con el Cálculo. Nociones básicas y nomenclatura.
Ecuaciones lineales: homogéneas y no homogéneas (variación de parámetros). Superposición de soluciones.
Ecuaciones no lineales: ecuaciones separables, exactas, factor integrante, ecuación de Bernoulli, ecuación de Riccati.
Métodos geométrico: isoclinas, campo vectorial, familias de curvas paramétricas. Soluciones de equilibri, líneas fase y bifurcaciones. Ecuaciones autónomas.
Teorema de existencia y unicidad, su importancia y su aplicación. Problema de Cauchy. Iterados de Picard.

2. Ecuaciones de segundo orden

[1 examen]
Ecuaciones homogéneas lineales con coeficientes constantes.
Propiedades del conjunto de soluciones, independencia lineal, wronskiano, solución general.
Plano fase y soluciones de la ecuación característica (raices reales distintas, repetidas y complejas). Equivalencia a un sistema de ecuaciones.
Reducción de orden. Ecuaciones no homogéneas: método de variación de parámetros.
Método de soluciones particulares: no homogeneidad polinomial, exponencial, trigonométrica.
Aplicaciones: vibraciones mecánicas: (resortes, péndulo), osciladores (libres, amortiguados, forzados). Resonancias, modulaciones, amortiguamiento.
Teorema de existencia y unicidad.

3. Sistemas lineales

[1 examen]
Reducción de una ecuación de orden n para llevarla a un sistema de n ecuaciones de primer orden. Estructura algebraica.
Sistemas homogéneos con coeficientes constantes: soluciones linealmente independientes. Solución particular. Algunas propiedades de álgebra lineal.
Caso de coeficientes constantes: exponencial de una matriz, eigenvalores, eigenvectores, uso de la forma de Jordan.
Conjunto fundamental de soluciones, matriz fundamental y solución general. Sistemas no homogéneos. Variación de parámetros.
Teorema de existencia y unicidad de las soluciones (generalización).
Algunas aplicaciones y modelos.

4. Introducción a la teoría cualitativa

[1 examen]
Estabilidad de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Plano fase, clasificación de puntos de equilibrio.
Estabilidad lineal cerca de un punto de equilibrio.
Linealización de puntos de equilibrio de sistemas no lineales, estudio de la estabilidad. Sistemas planos.
Algunas perspectivas.

Bibliografía

Blanchard, P., Devaney, R., Hall, G. Ecuaciones diferenciales. International Thomson Editores, 1998. Temas 1, 3 y 4.
Braun, M., Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Temas 1, 2 y 3.
Boyce-Di Prima, Ecuaciones diferenciales con problemas en la frontera. Temas 1, 2 y 3.
Kisielov, A. Krasnov, M, Makarenko, G. Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Mir, Moscú, 1968. Temas 1, 2.
Elsgoltz, L. Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional. Mir, Moscú, 1969. Temas 1-4.
Ross, S. L. Differential equations. John Wiley & Sons, 1984. Temas 1, 2 y 3.
Arnold I. V. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Temas 1-4.
Hirsch, M. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Temas 3 y 4.
Strogatz, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemestry and Engineering. Cambridge, 1994. Temas 3 y 4.
Brauer, F., Nohel, J. A. The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations: An Introduction. Dover, New York, 1989. Temas 3 y 4.