Presentación del grupo 4284 - 2011-2.

TEORIA DE LOS CONJUNTOSI

Objetivos. Un objetivo inicial es aclarar los malos entendidos y prejuicios sobre los dos conceptos indefinidos de la teoría: conjuntos (y posiblemente átomos o “urelementos”) yla relación de pertenencia (Î). La distinción conjunto-clase y aclaración de paradojas.El objetivo principal es dar a los alumnos elementos básicos de teoría de conjuntos que les sirvan en su formación matemática: construir los números naturales y probar los axiomas de Peano, así como mostrar que toda la matemática clásica se puede reconstruir con la teoría de conjuntos. Los otros objetivos son: la aritmética cardinal y ordinal transfinita, y el manejo claro del axioma de elección.

0. INTRODUCCIÓN 0.1 Aclaraciones sobre el concepto de conjunto. Conjuntos y no conjuntos. El lenguaje de la teoría de conjuntos. Aclaración de paradojas.0.2 Construcción de conjuntos. ¿Cómo construimos conjuntos?0.3 El conjunto universo-local. La colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

1. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 1.1 Par ordenado, producto cartesiano.1.2 Relaciones, particiones y funciones.1.3 Funciones: Inyectivas, suprayectivas, biyectivas, monótonas, etc.1.4 Ordenes parciales, totales y buenos. Conjuntos bien fundados e inducción fuerte.

2. LOS NÚMEROS NATURALES Y LOS NÚMEROS ORDINALES

2.1 Construcción de los números naturales ℕ. Conjuntos inductivos, axioma de infinito, principio de inducción. Construcción de los ordinales2.2 El Teorema de Recursión para números naturales y para ordinales.2.3 Sistemas de Peano. Unicidad. Aritmética, variantes de teorema de recursión.2.4 Aritmética de los ordinales. Construcción de ℤ, ℚ, ℝ.

3. EQUIPOTENCIA, FINITUD, DOMINANCIA Y ARITMÉTICA CARDINAL

3.1 Equipotencia. Ejemplos clásicos. Finitud. Propiedades, definiciones alternativas.3.2 Teorema de Cantor-Bernstein. La Dominancia es orden parcial. Teorema de Cantor. 3.3 Aritmética cardinal. Suma, producto y exponenciación.3.4 El problema del continuo: la Hipótesis del Continuo (HC) y la Hipótesis Generalizada del Continuo (HGC).

4. EL AXIOMA DE ELECCIÓN

4.1 Varios equivalentes del Axioma de Elección (AE). Lema de Zorn, Teorema del Buen Orden,la Dominancia es orden Total. La dominancia es un buen orden.4.2 Más aritmética cardinal con AE. Dedekind-infinito e infinito. 4.3 Aplicaciones de AE, en especial del Lema de Zorn.

Amor J. A., Teoría de Conjuntos para estudiantes de Ciencias, Serv. Editoriales Facultad de Ciencias, UNAM, 2a. edición, 2005

Hrbacek K., Jech T. Introduction to set theory, Marcel Dekker, 3a Edición, 1999.

Henle J. M., An outline of set theory, Springer Verlag, 1986.

Enderton H.B., Elements of set theory, Academic Press, 1977.

Kamke E., Theory of Sets, Dover Pub., 1950.

Hernández F., Teoría de Conjuntos, Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998.

Malitz J., Introduction to mathematical logic, Pert I Set Theory, Springer Verlag, 1984.

Devlin K., The joy of sets, Springer Verlag, 1993.

CrossleyJ. Et al, What is mathematical logic?, Dufdod University, 1972.

Amor J.A. La teoría de conjuntos en el siglo XX, Miscelánea Matemática 31, SMM, 2000.

Bolzano B., Las paradojas del infinito, Mathema, UNAM, 1985.

Cantor G. Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers, Dover, 1955.

Juan Manuel Ruisánchez Serra,Infinito vs Aristóteles. Fotocopias.

Importante: HORARIO: Lunes a Viernes de 10 a 11 hs.

CALENDARIO: 31 de enero al 27 de mayo 2011, en total 16 semanas de clase (11 semanas-clase+1semana-descanso+5semanas-clase). Exámenes: 30 de mayo - 10 de junio. Se aconseja no faltar, hacer todas las tareas obligatorias o no, en equipo y presentar todos los exámenes. Lo más importante: preguntar siempre lo que no quede claro o aquello con lo que no estén de acuerdo.

EVALUACIÓN: Habrá varias tareas y cuatro exámenes (el último será en la primera semana de exámenes ordinarios). Se aprueba el curso si y sólo si se aprueban todos los exámenes parciales. Sólo se pueden reponer dos exámenes parciales. Más de dos exámenes no aprobados obligan a examen final. Las reposiciones o el examen final se harán en la segunda semana de exámenes ordinarios, una sola vez.

Profesor Dr. José Alfredo Amor Cubículo218 Depto Matemáticas jaam@ciencias.unam.mx

Ayudante Erick Iván Rodríguez Castrokmoss_alone1@hotmail.com

Conceptos Básicos de Teoría de Conjuntos, sin átomos

José Alfredo Amor

1. INTRODUCCIÓN

La Teoría de Conjuntos es la teoría matemática del infinito, que estudia un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y una cierta relación binaria entre ellos, llamada pertenencia. Los únicos objetos indefinidos en la teoría de conjuntos son los conjuntos y la única relación indefinida en esta teoría es la relación de pertenencia.

Para empezar, daremos algunas ideas intuitivas sobre estos dos conceptos indefinidos que acabamos de mencionar. Un conjunto es una colección de objetos en un todo. Es decir, una colección o multiplicidad terminada y considerada como una totalidad o como una unidad. Los objetos que constituyen esas colecciones terminadas, se llaman sus elementos y están en la relación de pertenencia o de ser elemento de, o de ser miembro de, con el conjunto al que constituyen. Si B es un conjunto, y A es un objeto que pertenece a B, esto lo denotamos con AÎB lo cual se lee “A pertenece a B” o “A es elemento de B” o “A es miembro de B”. En caso contrario, si A no pertenece a B o no es un elemento de B, esto se denota AÏB.

La importancia teórica de la teoría de conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la matemática. Por ejemplo, se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades como teoremas de la teoría de conjuntos: par, par ordenado, relación, función, partición, orden, buen orden, los números naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, todas las estructuras algebraicas como grupos, anillos, campos, y otro tipo de estructuras como los espacios vectoriales, los espacios topológicos, espacios métricos, etc.

La importancia práctica radica en sus aplicaciones para resolver problemas y en su uso en otras teorías ya que los métodos e ideas teórico-conjuntistas se encuentran en toda la matemática moderna.

2. EL LENGUAJE DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Una parte esencial en el estudio de cualquier teoría es su lenguaje y en la teoría de conjuntos en particular esto es muy importante por ser una teoría tan básica y a la vez tan poderosa, que al precisar el lenguaje y con él, las suposiciones iniciales acerca de los conjuntos y la relación de pertenencia, se precisan estos conceptos indefinidos y quedan determinados implícitamente por esas suposiciones iniciales. El lenguaje de la teoría de conjuntos (TC) es un lenguaje formal de predicados con igualdad, que tiene como símbolos especiales a los siguientes:

Î(….es un elemento de.…)

=(….es igual a….)

a,b,c,…A,B,C,…,w,x,y,z,…x₁,x₂,x₃,….. (variables sobre conjuntos, una cantidad numerable de ellas).

Por otro lado los símbolos lógicos usados son los siguientes:

Ø(no….)

Ù(….y….)

Ú(….o….)

®(….implica…..)

«(….si y sólo si….)

" (Para todo….)

$(Existe….)

)(paréntesis derecho)

((paréntesis izquierdo)

Con estos símbolos, formamos afirmaciones o fórmulas, de acuerdo a las siguientes reglas de formación:

1. Las afirmaciones simples o atómicas son sólo de las formas aÎb o a=b. Donde podemos reemplazar a o b por cualquier otra variable.
2. Afirmaciones compuestas. Si j, ψ son afirmaciones, entonces (Øj), (jÙψ), (jÚψ), (j®ψ) y (j«ψ) son afirmaciones. Si j(x) es una afirmación que dice algo acerca de la variable x, entonces "xj(x) y $xj(x) son afirmaciones. Donde podemos reemplazar x por cualquier otra variable para decir lo mismo.
3. Las únicas afirmaciones del lenguaje de TC son las de las formas descritas en los incisos 1 y 2.

Para decir que a y b son conjuntos diferentes escribimos: Ø(a = b) (que lo abreviaremos a ¹b).

Para decir que c es un conjunto que no tiene elementos, escribimos: "y(ØyÎc) o bien "y(yÏc) o también Ø$x( xÎc).

Para decir que hay un objeto que pertenece tanto a b como a c, escribimos: $x(xÎbÙ xÎc).

Para decir que w tiene a lo más dos elementos, escribimos: $x$y"z(zÎw « z=xÚ z=y).La primera relación entre conjuntos que definimos, es la de ser subconjunto de.

Si a y b son conjuntos decimos que: a es subconjunto de b si y sólo si todo elemento de a es elemento de b. Esto lo denotamos con a⊆b lo cual abrevia la afirmación del lenguaje:"z(zÎa®zÎb).Obsérvese que esta definición la damos usando la pertenencia y lógica. Es una abreviatura.

Por una clase entenderemos una colección de objetos que está determinada o descrita por una propiedad enunciada por medio del lenguaje de TC con una fórmula con una y sólo una variable no cuantificada. Así, dada una propiedad j(x), los objetos x que cumplen esa propiedad son exactamente los que pertenecen a la clase determinada por esa propiedad. A tal clase la denotaremos {x / j(x)} y la expresión aÎ{x / j(x)} sólo abreviaj(a).

Veamos algunos ejemplos de clases que son conjuntos. Si Æ denota a un conjunto que no tiene elementos (conjunto vacío), entonces Æ ={ x / x¹ x } y la propiedad es x¹ x.

Si {a, b} denota a un conjunto cuyos elementos son exactamente a y b, entonces {a, b} = {x / ( x=aÚx=b)} aquí la propiedad es (x=aÚx=b).

Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante, pero podemos adelantar que una clase que no es un conjunto, llamada clase propia, no es un objeto de estudio de la teoría de conjuntos. Estas clases propias no existen en la teoría de conjuntos, ya que existir es sinónimo de ser un conjunto. Sin embargo, las clases propias se pueden concebir intuitivamente y podemos hablar de ellas, así como en la vida real hablamos de objetos no existentes como Santa Claus e incluso podemos tratarlos como si existieran aunque sabemos que no existen. Así pues, podemos hablar de las clases propias y tratarlas de modo análogo como si fueran conjuntos, siempre que tengamos claro que no las podemos tratar como conjuntos porque no son conjuntos.

Como se mencionó anteriormente, una clase está determinada por una propiedad j(x) formulada en nuestro lenguaje TC. Una clase es pues una colección cuyos objetos x son objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad j(x) que caracteriza a la colección. Las colecciones llamadas clases, son colecciones de conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto. Obsérvese que si a es un conjunto, entonces a es la clase de los objetos x que cumplen la propiedad xÎa. Es decir a ={x / xÎa}.

Proposición 1.
La clase de todos los conjuntos x tales que cumplen la propiedad xÏx, no es un conjunto.

Demostración.

1. Si RÏR, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que RÎR.
2. Si RÎR, entonces R debe cumplir la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos entonces que RÏR.

Así pues, hemos mostrado que: RÎR si y sólo si RÏR. Pero como RÎR o RÏR, (por la ley lógica del tercero excluido), entonces necesariamente se cumple que RÎR y RÏR, lo cual es absurdo. Concluimos que no es posible que dicha clase sea un conjunto; es una clase propia. A esta proposición se le conoce como la Paradoja de Russell.

Por todo lo anterior es claro que resulta esencial poder distinguir cuáles colecciones son conjuntos y cuáles no. El concepto ingenuo de conjunto como colección determinada por una propiedad, es un concepto equivocado pues además de llevar a una contradicción como ya se probó, puede mostrarse que contradice una verdad lógica.[1]

El concepto correcto de conjunto se adquiere al establecer algunas de las propiedades esenciales de los conjuntos y algunos de los procesos mentales con los que construimos conjuntos. Estos serán los supuestos iniciales o axiomas de la teoría.

Los primeros seis axiomas de la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel (ZF).

"x"y["z(zÎx«zÎy)® x = y]

$x"y(y∉x)

Conjunto Par: Para cualesquiera conjuntos a y b la colección w = {a, b} es un conjunto."x"y$w["z(zÎw«z = x Úz = y)]Conjunto Unión: Si c es un conjunto de conjuntos entonces la colección que tiene a los elementos de los elementos de c es un conjunto."x$y"z[zÎy«$w(wÎxÙzÎw)]Conjunto Potencia: Si d es un conjunto, la colección de todos los subconjuntos de d es un conjunto."x$y"z[zÎy«z⊆x]

Axiomas de Separación o de Comprehensión. Para cada j(x) propiedad acerca de conjuntos, el siguiente es un axioma: Si a es un conjunto cualquiera, la colección de elementos x de a que cumplen la propiedadj(x), es un conjunto, es decir, {xÎa / j(x)} es un conjunto. Para cada ϕ(z), un axioma de separación es:"x$y"z[zÎy«zÎx Ùϕ(z)]

Proposición 2. Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece. Es decir, "A$D tal que DÏA.

Demostración.
Sea A un conjunto cualquiera. Sea D el conjunto de las y que pertenecen al conjunto A, tales que cumplen la propiedad y Ï y. De lo anterior, por el axioma de separación, se sigue que D es un conjunto y que es un subconjunto de A. Se afirma que D no pertenece al conjunto A, pues suponiendo que D pertenece al conjunto A, entonces se tiene que:

1. Si D no pertenece a D, entonces D pertenece a D, por cumplir la propiedad que caracteriza a D y por la suposición de que D pertenece al conjunto A.
2. Si D pertenece a D, entonces D cumple la propiedad, por lo tanto, D no pertenece a D.

Las dos conclusiones anteriores juntas, implican que D pertenece a D y que D no pertenece a D, y esto es absurdo. Por lo tanto, se tiene que D no pertenece al conjunto A. Así pues, dado cualquier conjunto A, hay un conjunto D tal que D no pertenece al conjunto A.

Corolario.La colección o universo de todos los conjuntos no es un conjunto.

Demostración.

Si la colección de todos los conjuntos fuera un conjunto, por la proposición anterior habría un conjunto que no le pertenece y entonces no sería la colección de todos los conjuntos! Así pues, la clase de todos los conjuntos no es un conjunto. Es una clase propia.