Presentación del grupo 4141 - 2011-1.

Cálculo Diferencial e Integral III

1. Funciones de R en R^N

1.1 Funciones de R enR^Ncomo curvas en el espacio, límites y derivadas

en términos de las componentes.

1.2 La diferencial de una curva en el espacio, velocidad y el vector

tangente, rapidez.

1.3 Propiedades de los límites y la derivada con respecto a la suma

y el producto.

1.4 Curvas rectificables, longitud de arco, parametrización unitaria

por longitud de arco, comparación de parametrizaciones.

1.5 Normal principal, curvatura, torsión y plano osculante.

1.6 Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio.

1.7 Fórmula de Frenet-Serret (opcional).

2. Espacios normados (opcional)

2.1 Espacios vectoriales, normas en R^N

3. Topología de R^Ny funciones de R^Nen R^M

3.1Conjuntos abiertos, cerradosy frontera

3.2 Caracterización de compactos, prueba del teorema de Heine Borel

(opcional), producto de compactos.

3.3 Conexidad y conexidad relativa.

3.4 Definición de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

3.5 Funciones de R^Nen R^M , límites y continuidad.

3.6 Teoremas de continuidad en compactos o en conexos, ejemplos.

3.7 Teorema de Bolzano-Weierstrass.

3.8 Funciones continuas en compactos.

4. Funciones deR^Nen R

4.1 Conjuntos de nivel y gráficas.

4.2 Diferenciabilidad, propiedades, derivadas direccionales y derivadas

parciales.

4.3 Gradiente de una función, propiedades: dirección de máximo cambio,

definición de puntos críticos.

4.4 Teorema del valor medio, criterio de diferenciabilidad en términos

de las parciales, derivadas de orden superior, plano tangente a una

superficie.

4.5 Diferenciales de orden k, aproximación por polinomios de Taylor,

5. Transformaciones (opcional)

5.1 Matrices, determinantes, y resolución de sistemas.

5.2 Valores y vectores propios.

5.3 Formas bilineales y cuadr´aticas.

6. Funciones de R^Nen R^M

6.1 Diferenciabilidad, jacobiano, regla de la cadena, ortogonalidad

del gradiente a los conjuntos de nivel.

6.2 Teoremas de la función inversa e implícita con demostraciones,

ejemplos.

6.3 Teorema del rango (opcional).

6.4 Definición del operador de divergencia, laplaciano y rotacional.

6.5 Ejemplos.

7. Máximos y mínimos

7.1 Puntos críticos, formas cuadráticas definidas positivas, diagonalizaci

´on y criterios de positividad, aplicación a Hessianos para detectar

máximos, mínimos y puntos silla, lema de Morse (opcional).

7.2 Máximos y mínimos con restricciones, multiplicadores de Lagrange,

ejemplos.

BIBLIOGRAFIA BASICA:

1. Marsden, J., Tromba, A., C´alculo Vectorial, México: Addison-Wesley, Pearson Educación, 1998.

2. Apostol, T.M., Calculus, Volumen I. M´exico: Ed. Revert´e, 2001.

3. Courant, R., Differential and Integral Calculus, vol 2, New York: J. Wiley, 1936.

Courant, R., John, F., Introducción al C´alculo y al Análisis Matemático, vol. 2,

México: Limusa, 1974.

4. Lang, S., Calculus of Several Variables, New York: Springer, 1987.

5. Thomas, G.B., Finney, R.L., Cálculo: varias variables, México: Adisson-Wesley

Longman, 1999.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA:

1. Buck, R.C., Advanced Calculus, New York: McGraw-Hill, 1978.

2. Budak, B.M., Fomin, S.V., Multiple Integrals Field Theory and Series, Mosc´u: MIR,

1973.

3. Crowell, R., Trotter, H., Williamson, R., C´alculo de Funciones Vectoriales, Bogotá:

Prentice Hall Internacional, 1973.

4. Fulks, W., Cálculo Avanzado, México: Limusa-Wiley, 1970.

5. Spivak, M., C´alculo en Variedades, M´exico: Ed. Revert´e, 1987.

6. Spivak, M., C´alculo Infinitesimal, Segunda edición. México: Ed Reverté, 1998.

7. Stein, S.K., Calculus and Analytic Geometry, New York: McGraw Hill, 1992.

8. Widder, D.V., Advanced Calculus, New York: Dover, 1989.