Presentación del grupo 4230 - 2011-1.

El curso se basará en los capítulos 4 y 5 del libro de Manfredo P. do Carmo "Differential Geometry of Curves and Surfaces in R^3", suponiendo conocidos los capítulos 1 a 3, cuyos conceptos y resultados serán revisados en las primeras clases. Para ingresar a una evaluación deberá presentarse una tarea resuelta cuyos problemas habrán sido asignados de manera individual; la calificación final será el promedio de calificaciones aprobatorias, más un épsilon positivo obtenido por la participación del estudiante en el curso.

En el capítulo 4 se establece el concepto de geometría intrínseca y se demuestra que la curvatura de una superficie en uno de sus puntos pertenece a ella. Se establecen los conceptos de isometría, derivada covariante, transporte paralelo y geodésica, se demuestra el Teorema de Gauss-Bonnet (previa definición de la característica de Euler de una superficie), se da el concepto de aplicación exponencial y con él la posibilidad de dar localmente coordenadas polares geodésicas.

En el capítulo 5 se estudian conceptos y teoremas de la geometría global de una superficie, donde la completez y la compacidad juegan un papel fundamental. Teoremas como el de la rigidez de la esfera; el de Hopf-Rinow sobre la existencia de geodésicas minimizantes; el de Bonnet que asegura la compacidad de una superficie si es completa y su curvatura es estrictamente positiva; los referentes a la existencia o no de puntos conjugados dependiendo del signo de la curvatura; los de Hadamard sobre superficies cubrientes; teoremas globales de curvas adicionales a los vistos en el capítulo 1; los que caracterizan superficies de curvatura gaussiana cero; los de Jacobi sobre variaciones de geodésicas; el conceptode 2-variedad diferenciable y, finalmente el Teorema de Hilbert que de muestra la imposibilidad de encontra en el R^3 uan superficie regular completa y de curvatura constante negativa que sea modelo de la geometría hiperbólica.