Presentación del grupo 4285 - 2011-1.

TEORIA DE LOS CONJUNTOSI I

Dr. Jose Alfredo Amor

El objetivo es dar al alumno todas las construcciones numéricas a partir de los números naturales. Ver el estudio de los tipos de orden de los órdenes lineales y sus aritméticas (discretos, densos, continuos separables, etc), especialmente de los buenos ordenes. El teorema de recursión para ordinales. Se estudian los cardinales como ordinales iniciales (revisando que cumplen lo visto en equipotencia y dominancia). Las jerarquías de los alephs y de los beths, así como cofinalidad, sumas y productos infinitos de cardinales infinitos, el teorema de Konig y el problema de la exponenciación cardinal. Quedan establecidas todas las restricciones posibles al cardinal del continuo. Cardinales inaccesibles débiles y fuertes.

1. TIPOS DE ÓRDENES TOTALES O LINEALES a) Tipos de orden, ejemplos, igualdad y orden. (ℕ , < )como único (salvo isomorfismo) buen orden, sin extremo derecho y tal que cualquier subconjunto acotado superiormente tiene máximo. b) Construcción de ℤ. (ℤ, < ) como único (salvo isomorfismo) orden total, sin extremos ytal que cualquier subconjunto acotado tiene máximo y mínimo.c) Construcción de ℚ, (ℚ , < ) como el único (salvo isomorfismo) orden total, denso, sin extremosy numerable.d) Construcción de ℝ, (ℝ, < ) como el único (salvo isomorfismo) orden total, denso, sin extremos, completo (continuo) y separable. Otro problema del continuo: el problema de Souslin.e) Aritmética de tipos de orden. El caso particular de los buenos órdenes.

2. ORDINALESa) Ordinales, propiedades y caracterizaciones. Principio del Mínimo Ordinal. Inducción para ordinales (inducción transfinita). Construcción del primer ordinal no numerable omega-uno.b)El Teorema de Enumeración: Todo buen orden es isomorfo a un único ordinal con Î. Recursión para ordinales. c)Aplicaciones: el Teorema de Recursión: aritmética ordinal, definición de la jerarquía acumulativa de los conjuntos bien fundados. AE implica Teo.Buen Orden. Cerradura transitiva.d)El axioma de constructibilidad y el universo constructible o definible L de Gödel

3.CARDINALESa)Ordinales iniciales, propiedades básicas. El Teorema de Hartog. La jerarquía de los Alephs. b) Aritmética cardinal infinita de cardinales transfinitos. El Teorema de Konig. El problema de la exponenciación cardinal. La jerarquía de los Beths. c)Equivalencias de la Hipótesis Generalizada del Continuo (HGC).

4. COFINALIDADa)Propiedades y caracterizaciones. Exponenciación en términos de cofinalidad. Qué cardinales no pueden ser ïℝï, ¿puede ser cualquier otro cardinal?b)Exponenciación con HGCy sinHGC. La jerarquía de los Gimel. c)Cardinales Inaccesibles. Axiomas fuertes de infinito y cardinales grandes.

BIBLIOGRAFÍA

0. Teoría de Conjuntos, Curso Intermedio, José Alfredo Amor y Montaño, Gabriela Campero Arena y Favio Miranda Perea. En proceso de publicación por la Facultad de Ciencias, UNAM.

1.K. Hrbacek & T. Jech, Introduction to Set Theory, Marcel Dekker, 3^aEd. 1999.

2.Kamke E., Theory of Sets, Dover Pub., 1950.

3.F. Hernández, Teoría de Conjuntos, Aportaciones matemáticas No.13, Sociedad Matemática Mexicana, 1998.

4. H.B. Enderton, Elements of Set Theory, Academic Press, 1977.

5.K. Devlin, The Joy of Sets, foundations of contemporary set theory, Springer Verlag, 1993.

6.K. Kunen, Set Theory, an introduction to independence proofs, North Holland, 1980.

7. J.A. Amor, La teoría de conjuntos en el siglo XX, Miscelánea Matemática No.31, 2000.

8. J.A. Amor, El Problema del Continuo y las pruebas de independencia, en el libro Continuidad en las Ciencias, FCE-UNAM, 2002.

9. C. Palomino, De la teoría de los estratos a las estructuras matemáticas a través de la teoría de conjuntos, Tesis UNAM, 1993.

10. G Campero, ¿Es V distinto de L? Independencia del axioma de constructibilidad y algunas reflexione sobre la No-constructibilidad del universo conjuntista. Tesis UNAM, 1998.