Presentación del grupo 4227 - 2011-1.

Temario.

El principal problema al que se enfrenta quien imparte un curso introductorio a la geometría algebraica es, básicamente, la cantidad de prerrequisitos que pueden suponerse por parte de los alumnos de modo que el material cubierto en éste sea interesante, útil y, además, equilibre la intuición geométrica con el formalismo del álgebra.

Así, como no sabré con qué cuentan los posibles interesados hasta que inicien las clases, me gustaría hacer de éste un curso de curvas algebraicas complejas (curvas planas en C²) con miras a cubrir la mayoría (o todos) de los siguientes puntos:

1. Introducción: (a) Esbozo histórico, (b) relación con otras ramas de la matemática, (c) curvas algebraicas reales.
2. Fundamentos: (a) Curvas algebraicas complejas en C², (b) espacios proyectivos complejos, (c) curvas proyectivas complejas en P², (d) Curvas afines y proyectivas.
3. Propiedades algebraicas: el teorema de Bézout y sus aplicaciones (puntos de inflexión y cúbicas, el conjunto singular de una curva plana).
4. Propiedades topológicas: (a) La fórmula del grado y el género, (b) cubrientes ramificadas de P¹.
5. Superficies de Riemann: (a) La función P de Weierstrass, (b) superficies de Riemann.
6. Diferenciales en superficies de Riemann: (a) Diferenciales holomorfas, (b) el teorema de Abel, (c) el teorema de Riemann-Roch.

Si esto resultase demasiado ambicioso, podríamos restringirnos únicamente a lo siguiente:

1. Introducción y ejemplos.
2. Curvas algebraicas afines y los polinomios que las definen.
3. La cerradura proyectiva, multiplicidad de intersección y el teorema de Bézout.
4. Tangentes y singularidades.
5. Polares y curvas Hessianas.
6. Curvas duales y fórmulas de Plücker.

Cualquiera de los dos cursos posibles descansa fuertemente en nuestra propuesta de:

Bibliografía.

Incluye sólo tres títulos, los cuales se encuentran en la biblioteca de la Facultad.

• Reid, Miles; Undergraduate Algebraic Geometry; Cambridge Univ. Press, Reino Unido, 1998.
• Kirwan, Frances; Complex Algebraic Curves; Cambridge Univ. Press, Reino Unido, 1993.
• Fischer, Gerd; Ebene algebraische Kurven; Vieweg Verlag, Alemania, 1994. (La versión publicada por la AMS lleva el título de Plane Algebraic Curves y es ésta la que se encuentra en la Facultad).

Prerrequisitos:

Al igual que los temas que podemos cubrir, los prerrequisitos varían e incluyen esencialmente los 4 cálculos y álgebra lineal. Aunque el curso de variable compleja no es indispensable, sí sería deseable un conocimiento de las nociones y de las propiedades más básicas de las funciones holomorfas; así como nociones básicas de la topología de R²ⁿ.

Obsérvese que no es un requisito haber cursado álgebra moderna 2 y que, ¡claro!, en caso de que se presentasen alumnos con estos y otros requisitos, podríamos seguir un curso más en la línea de los libros de William Fulton (Algebraic Curves) o Robin Hartshorne (Algebraic Geometry).