Requisitos

FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMADAS INTEGRALES

Paola Rosales Miranda

F. J. Hernández Moreno

1.Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I.

2.Algebra Lineal I

3.Variable Compleja I

·Estudiar y construir las funciones especiales como soluciones de algunas ecuaciones diferenciales de la física clásica y moderna para diversas condiciones iniciales y/o de frontera.

·Representar funciones como series y/o transformadas integrales de conjuntos completos de funciones ortonormales y de otras funciones.

·Ilustrar las aplicaciones de las funciones especiales y las transformadas integrales de la solución de variedades de problemas.

Las clases se llevarán a cabo de lunes a viernes, de 20:00 a 21:00 horas en el salón P117. Se determinarán sesiones prácticas, de acuerdo a las tareas asignadas. Durante estas sesiones se revisará parte del material visto en clase y se discutirán las posibles soluciones a los problemas propuestas.

Se hace una revisión de las funciones y las series que los alumnos ya han estudiado en los prerrequisitos para establecer un punto de comparación para las propiedades de las funciones especiales y las transformadas integrales que se van a estudiar. Se debe destacar que los métodos matemáticos que se utilizan son comunes.

I.1 Potencias enteras y fraccionarias, positivas y negativas.

I.2 Función exponencial y función logaritmo.

I.3 Funciones trigonométricas e hiperbólicas.

I.4 Series de Taylor. Independencia lineal de la base.

I.5 Series de Fourier. Ortonormalidad de la base.

Se presentan algunas de las ecuaciones diferenciales parciales de la física clásica y

moderna, ilustrando su significado físico y destacando su estructura matemática. Se muestra la separabilidad de las soluciones de estas ecuaciones en coordenadas cartesianas.

II.1 Ecuaciones de Laplace y de Poisson.

II.2 Ecuación de Onda.

II.3 Ecuación de Difusión.

II.4 Ecuación de Helmholtz.

II.5 Ecuación de Schrödinger.

Se introducen sistemas de coordenadas alternativas a las coordenadas cartesianas que

pueden permitir que se satisfagan de manera más directa las condiciones de frontera para diversas geometrías. Se escriben las ecuaciones del tema anterior en algunas de estas coordenadas y se muestra la separabilidad de las soluciones.

III.1 Sistemas de coordenadas Curvilíneas Ortogonales.

III.2 Elementos de línea, área, volumen. Factores de escala.

III.3 Operadores de gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano.

III.4 Solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales por el método de Separación de

Variables.

Se introduce la función Gama como extensión del factorial, estudiando sus propiedades y representaciones. También se estudian otras funciones relacionadas directamente con la función Gama, y ejemplos de aplicaciones de las mismas.

IV.1 Función Gama. Definición, propiedades, representaciones.

IV.2 Funciones Digama y Poligama.

IV.3 Funciones Beta.

Muchas de las ecuaciones diferenciales ordinarias que resultan de la separación de las ecuaciones diferenciales parciales estudiadas en los temas II y III son casos particulares de la ecuación diferencial de la función hipergeométrica. Por esta razón se estudia en detalle esta función y sus propiedades.

V.1 Serie Hipergeométrica de Gauss.

V.2 Fórmulas de Derivadas y de Relaciones de Gauss para funciones continuas.

V.3 Representaciones Integrales y fórmulas de transformación.

V.4 Soluciones de la Ecuación Diferencial Hipergeométrica.

V.5 Ecuación Diferencial de Riemann y casos particulares.

V.6 Funciones Hipergeométricas Confluentes.

V.7 Relaciones de Recurrencia.

V.8 Desarrollos Asintóticos y Formas Límite.

Se construyen las funciones de Legendre, ordinarias y asociadas, y de primera y segunda clase, como soluciones de la ecuación diferencial ordinaria en la coordenada polar esférica que resulta de la separación de las ecuaciones del tema II. Se reconoce que los polinomios de Legendre corresponden a eigenfunciones del operador del momento angular o generador de rotaciones. Se muestran diversas propiedades y aplicaciones de estas funciones.

VI.1 Ecuaciones diferenciales de Legendre.

VI.2 Soluciones de Primera y Segunda clase.

VI.3 Polinomios de Legendre.

VI.4 Función Generadora. Fórmulas de recurrencia. Fórmulas de Rodrigues. Ortonormalidad.

VI.5 Armónicos esféricos como eigenfunciones de momento angular.

VI.6 Teorema de la Adición.

VI.7 Aplicaciones a problemas con diversas geometrías.

Se introducen las funciones de Bessel ordinarias en conexión con algunos problemas físicos conocidos y como soluciones regulares de la ecuación diferencial correspondiente. Se construyen también las soluciones singulares. Se estudian diversas propiedades de las funciones. También se estudian las funciones de Bessel modificadas y esféricas.

VII.1 Funciones de Bessel Ordinarias.

VII.2 Soluciones de la Ecuación Diferencial de Bessel.

VII.3 Funciones Generadoras. Relaciones de Recurrencia. Representaciones Integrales. Ortogonalidad.

VII.4 Teorema de Adición.

VII.5 Funciones de Bessel modificadas.

VII.6 Funciones de Bessel esféricas.

Se construyen los polinomios ortonormales a partir de la condición de ortogonalidad con diferentes funciones de peso y dominios de definición. Se establecen formas alternativas de construirlos y las conexiones entre las mismas. Se estudian diversas aplicaciones.

VIII.1 Definición de polinomios ortogonales.

VIII.2 Funciones Generadoras. Relaciones de Recurrencia. Fórmulas de Rodrigues.

VIII.3 Ecuaciones Diferenciales.

VIII.4 Ejemplos de aplicaciones físicas.

VIII.5 Integración por Cuadraturas de Gauss.

Se establece cuáles funciones que satisfacen ciertas condiciones de frontera y que son cuadráticamente integrables en diferentes dominios, pueden ser representadas como series de funciones ortonormales, siendo el caso de Series de Fourier un caso particular. Se estudian aplicaciones de tales representaciones.

IX.1 Series de Fourier.

IX.2 Conjuntos de Funciones Ortonormales como Bases en Espacios de Hilbert.

IX.3 Desarrollo de Funciones como Series de Funciones Ortonormales.

IX.4 Aplicaciones en la solución de problemas de eigenvalores.

En las series de Fourier y del tema IX las funciones de la base son numerables como consecuencia de las condiciones de frontera. En ocasiones al cambiar el dominio de definición de las funciones - por ejemplo de un dominio finito a un dominio infinito – el conjunto de funciones base deja de ser numerable y queda caracterizado por un parámetro que varía de manera continua. En tal caso las representaciones de serie se convierten en transformadas integrales.

X.1 De Series de Fourier a Transformadas de Fourier.

X.2 Transformadas de Fourier-Bessel, etc.

X.3 Teorema de la Convolución.

X.4 Aplicaciones.

Las Transformadas de Laplace están basadas en la función exponencial decreciente como núcleo. Siendo las derivadas e integrales de la función núcleo proporcionales a la misma, el uso de las transformadas de Laplace permite convertir la solución de ecuaciones diferenciales, en la solución de ecuaciones algebraicas.

XI.1 Transformadas de Laplace Directa e Inversa.

XI.2 Transformadas de Laplace de funciones Simples.

XI.3 Transformadas de Laplace de derivadas.

XI.4 Teorema de la Convolución.

XI.5 Aplicaciones.

La solución de ecuaciones diferenciales lineales inhomogéneas se puede realizar con el auxilio de la solución de la ecuación diferencial correspondiente con el término de inhomogeneidad de una fuente puntual. La solución para la fuente puntual es la llamada Función de Green y la solución particular para cualquier función de inhomogeneidad es una integral del producto de la función de Green y de la función de inhomogeneidad. Se construyen funciones de Green para diferentes ecuaciones y por diversos métodos.

XII.1 Ecuación de Poisson.

XII.2 Ecuación de Helholtz inhomogénea.

XII.3 Ecuación de Onda Inhomogénea.

XII.4 Ecuación de Schrödinger.

Básica:

• Arfken, G., Mathematical Methods for Physics, 2nd, Edition, Academic Press, 1970.

• Tranter, C.J., Integral Transforms in Mathematical Physics, Wiley, 1951 Complementaria:

• Hochstadt, H., The Functions of Mathematical Physics, Dover 1971

• Rainville, E.D., Special Functions, MacMillan, 1960

• Sneddon, I.N., Special Functions of Mathematical Physics and Chemistry, Oliver and Boyd

• Sneddon, I. N., Fourier Transforms, McGraw-Hill, 1951

• Titchsmarsh, E.C., Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Oxford University Press, 1948.

• Titchsmarsh, E.C., Eigenfunction Expansions Associated with Second Order Differential Equations, Oxford University Press, Vol. I (1962), Vol. II (1958)