Presentación del grupo 4218 - 2011-1.

El curso “Conjuntos y Lógica” fue pensado para estudiantes de los primeros cuatro semestres, especialmente para los de segundo y tercer semestre. Sin embargo son bienvenidos todos los estudiantes, incluso de semestres más avanzados que crean que puede servirles este curso.

La teoría de conjuntos estudia el concepto de conjunto y la relación de pertenencia. Es una teoría muy básica pero a la vez tan poderosa que puede considerarse el fundamento de toda la matemática clásica. Es tan elegante y rica que Hilbert la llamó “el paraíso que Cantor creo para nosotros”. La relación con la lógica es en ambos sentidos y en su estudio moderno, se complementan mutuamente.

La lógica inicialmente estudia el razonamiento correcto o válido. En particular los argumentos correctos o válidos. Las demostraciones en matemáticas son argumentos válidoso sucesiones finitas de ellos.

Este es un curso básico pero no trivial, que puede ser útil a cualquier estudiante de matemáticas. Es conveniente conocer el temario del curso.

Por favor revisa antes el programa oficial, que puedes encontrar en la página:

http://www.matematicas.unam.mx/programas/bloque-I/conjuntos_y_logica.pdf

Dr. José Alfredo Amor

Profesor Titular

OBJETIVOS DEL CURSO

I.Introducir al alumno al lenguaje y los conceptos de la Teoría de los Conjuntos y de la Lógica Matemática, que sirven como base en la construcción de las teorías matemáticas.En otras palabras, dar al alumno los elementos necesarios de Teoría de Conjuntos y Lógica, que le permitan expresar en su lenguaje, la estructura de las teorías matemáticas.

II.Aprender a reconocer la estructura lógica de los enunciados matemáticos mediante laintroducción de la simbología adecuada.

III.Hacer claro el concepto de demostración y distinguir los diferentes métodos de demostración de uso comúnen matemáticas.Diferenciar entre mostrar y demostrar.

IV.Entender la idea de descubrir o inventar una demostración y tener la certeza y claridadacerca de cuándo se ha logrado una demostración y cuándo no.Distinguir entre los elementos heurísticos y formales que intervienen en la actividad matemática; es decir, distinguir entre una demostración y el proceso de su descubrimiento.

TEMARIO

I. CONJUNTOS

1. Noción de conjunto.Noción de pertenenciaaun conjunto. Notación.

2.Relaciones entre conjuntos: contención e igualdad de conjuntos,conjuntos y subconjuntos, conjunto vacío, conjunto unitario, conjunto potencia.

3.Álgebra de Conjuntos: ∪, ∩, ∖, c. Unión e intersección generalizadas.

4.Diagrama de Venny diagramas de Euler. Representación de operaciones.

5.Relaciones:pares ordenados y productos cartesianos, dominio y codominio, imagen o rango de una relación. Operaciones con relaciones: inversa de una relación, composición de relaciones. Relaciones de orden sobre un conjunto: Conjunto Parcialmente Ordenado (COPO), Conjunto Totalmente Ordenado (COTO), Conjunto Bien Ordenado (COBO), Conjunto Densamente Ordenado (CODO). Cotas (máximo, mínimo, maximales, minimales,…). Qué afirma el Lema de Zorn.

6.Relaciones de equivalencia y particiones. El conjunto cociente módulo una relación de equivalencia.

7.Funciones. Dominio y Codominio, Rango o Imagen.Igualdad de funciones. Función constante, gráfica de una función. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.Inversa de una función, funciones invertibles, composición de funciones.

8.Cardinalidad.Equipotencia de dos conjuntos.Teorema de Cantor conjuntos finitos y conjuntos infinitos. Conjuntos numerables y no numerables (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ).

9.Inducción y Recursión.Inducción finita y segundo principio de Inducción.Principio del no descenso infinito. Principio del Buen Orden.

II. LÓGICA

1.Forma lógica de un enunciado.

2.Simbolización de enunciados simples.Letras proposicionales y conectivos lógicos Sinonimia de conectivos:

i) A implicaB; si A entonces B; B, si A; A sólo si B; Aes suficiente para B; B es necesaria para A.

ii) A o B; A a menos que B; AoB o ambos.

iii)AyB; A pero B; ambos: A y B.

iv)No A; no es el caso que A; A, no.

3.Simbolización de argumentos simples.

4.Simbolización de enunciados tomando en consideración la estructura sujeto–predicado:predicados, constantes, variables y cuantificadores. Sinonimia de cuantificaciones:

i) Existe.…;hay un.…; para algún.…; hay al menos un.…

ii) Para todos.../para cada uno.../ para cualquiera.../

Ejemplos y más ejemplos de traducciones de enunciados(de contenido matemático y de contenido no matemático).

5. Criterios de verdad: criterios de verdad de conectivos, cuantificadores e igualdad y analizar a partir de ellos la verdad de cualquier enunciado mas complejo.

6.Equivalencias Lógicas elementales.Negación de una conjunción, de una disyunción , de una implicación, de un bicondicional.Negación de cuantificaciones universales y existenciales.Recíproca y contrapositiva de una implicación.LeyesDistributivas.

Optativo: uso de reglas de instanciación y generalización, universal y existencial].

III. ANÁLISIS DE ARGUMENTOS Y MÉTODOS DE PRUEBA

1.Relación entre las premisas y la conclusión un argumento. Distinción entre verdad de proposiciones y validez de argumentos. ¿ Qué quiere decir que “Ase sigue de H₁,...,H_n”?

2.Métodos de Prueba directos: especialmente de condicionales y de disyunciones.Prueba por casos, por vacuidad. Pruebas indirectas: por contraposición,por reducción al absurdo.

3.Prueba de una equivalencia múltiple por implicaciones simples.Combinación de los distintos métodos. Pruebas por inducción.

1. Amor J.A. Sobre un curso de Análisis Lógico, Educación Matemática Vol.6 No.2, Grupo Editorial Iberoamérica, 1994.

2. Badesa C., Jané I., Jansana R., Elementos de Lógica Formal, Ariel 1998.

3. Fernandez M., Preisser A., Segura L.F., Torres Y., Lógica Elemental., UAM, 1996.

4. Lipschutz, Teoría de conjuntos y temas afines, seria Schaums, Mc-Graw Hill.

5. Solow D., Como entender y hacer demostraciones en matemáticas, Limusa, 1987.

6. Zubieta Gonzalo, Manual de Lógica para estudiantes de Matemáticas, Trillas,1977.

7. Zubieta Gonzalo, Taller de Lógica Matemática, Mc Graw-Hill, 1993.

1. Caroll Lewis, El juego de la lógica, 1984.

2. Martínez Gallardo V., Introducción al análisis lógico: del lenguaje natural al lenguaje analítico, tesis UNAM, 1987.

4. National Council of teachers of mathematics, Sugerencias para resolver problemas, Temas de Matemáticas No.17, Trillas 1970.

5. Polya G., Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas, 1965.

6. Smullyan R. Alicia en el país de las adivinanzas,

7. Smullyan R. ¿Cómo se llama este libro?, colección teorema, Ediciones Cátedra, 1978.

8. Smullyan R. La dama y el tigre, colección teorema, Ediciones Cátedra, 1978.