Presentación del grupo 4074 - 2011-1.

Temario del curso de Geometría Moderna I

Capítulo 0Motivación: ¿Qué nos dice el porisma general de Pappus?

1.Enunciado del porisma

2.Semejanza de triángulos 

3.Teoremas de Ceva y Menelao (con axiomas de congruencia)

4.Prueba del porisma

Capítulo 1 En las sandalias de Euclides y con el sombrero de Hilbert

1.Los elementos de Euclides

2.Postulados y nociones comunes

3.Los Fundamentos de la geometría de Hilbert

4.Los 5 grupos de axiomas

5.Teoremas de Congruencia

6.Relaciones entre los axiomas y postulados

Capítulo 2 ¿Qué es la razón entre segmentos?

1.Teorema de Pascal

2.Adición y multiplicación de segmentos

3.Leyes conmutativa y asociativa de la adición

4.Potencia y conmutatividad del producto a la Mollerup

5.Leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación

6.Leyes distributivas

Capítulo 3 Geometría del triángulo, del círculo y teoremas de incidencia.

1.Geometría del triángulo

1.1.Las mediatrices

1.2.Las bisectrices

1.3.Las medianas

1.4.Las alturas

2.Geometría del círculo

2.1.Ángulos inscritos

2.2.Ángulos semi-inscritos

2.3.Cuadriláteros cíclicos

2.4.Homotecia

2.5.Similitud

2.6.Potencia

2.7.Inversión

2.8.Polaridad

3.Teoremas de incidencia

3.1.Teoremas de Ceva y Menelao

3.2.Teorema de Desargues 

3.3.Conjugación armónica y polaridad.

Capitulo 4 El misterioso Porisma de Euclides

1.Proporción de rectángulos

2.El Porisma General de Pappus y su demostración

3.Prueba de la proposición dual del Porisma

4.Dualidad entre Ceva y Menelao

Capitulo 5 Viendo el Porisma con lentes proyectivos

1.Geometría proyectiva

1.1.Cuadrángulos, cuadriláteros y principio de dualidad.

1.2.Triángulos en perspectiva

1.3.Conjunto Cuadrangular

1.4.Conjunto Armónico

1.5.El teorema fundamental de la geometría proyectiva

1.6.Involución

1.7.Polaridades

2.Porisma Proyectivo

2.1.Configuración de Pappus

2.2.Razón cruzada

Capítulo 6 Nueva aritmética de segmentos

1.Adición y multiplicación de segmentos a la proyectiva

2.Leyes conmutativa y asociativa de la adición a la proyectiva

3.Leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación a la proyectiva

4.Leyes distributivas a la proyectiva

Capitulo 7 Las crónica de las cónicas y el porisma resucita

1.Polaridad respecto a una circunferencia con puntos al infinito

2.Teorema de Pascal (el hexágono místico)

3.Teorema de Brianchon

4.Porisma aplicado a cónicas

Evaluación:

Tareas semanales y exámenes cada 2 ó 3 semanas.

Tareas 30%  

Exámenes 70% 

No ponemos NP.

Primera semana para cambio de profesor.

Bibliografía:

Hartshorne, 'Euclid, Geometry and Beyond'

Hilbert, 'Foundations of Geometry'

Euclid 'The thirteen books of the elements' (comentada por Thomas Heath)