Presentación del grupo 4170 - 2011-1.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

Profesor: Herminio Suárez Quiroz.

Ayudante: Julio César Rubén Romo Cruz.

1. Introducción

1.1 Repaso de nociones básicas y planteamiento de problemas generales.

1.2 Ejemplos de métodos geométricos para analizar el retrato fase de una ecuación diferencial: isoclinas, familias de curvas paramétricas tangentes al campo vectorial.

1.3 Planteamiento de problemas generales: Existencia y unicidad de soluciones; aproximación de la solución y cuantificar el error.

2. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

2.1 Ecuaciones homogéneas.

2.2 Ecuaciones no homogéneas y método de variación de parámetros.

2.3 Teorema de Existencia y Unicidad y dependencia continua respecto a condiciones iniciales para este caso, ejemplos.

3. Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden.

3.1 Ecuaciones separables, ecuaciones exactas y el método del factor integrante.

3.2 Ejemplos y aplicaciones.

3.3 Teorema de Existencia y Unicidad de Picard.

3.4 Ecuación integral, iterados de Picard.

3.5 Convergencia de los iterados de Picard.

3.6 Lema de Gronwall, dependencia de las condiciones iniciales.

4. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

4.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes.

4.2 Propiedades del conjunto de soluciones, Independencia lineal de soluciones, wronskiano.

4.3 Solución general.

4.4 Ecuaciones no homogéneas, método de variación de parámetros (coeficientes indeterminados).

4.5 Interpretación geométrica de las soluciones en el plano, ejemplos.

4.6 Vibraciones mecánicas.

4.7 Oscilaciones amortiguadas y forzadas, resonancias.

5. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables.

5.1 Método de solución por series de potencia.

5.2 Cálculo del radio de convergencia.

5.3 Ecuaciones singulares y el método de Frobenius.

5.4 Ejemplos de ecuaciones de Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff, Ecuación Hipergeométrica.

6. Transformada de Laplace y de Fourier.

6.1 Métodos de solución de y aplicaciones para resolver ecuaciones de segundo orden.

7. Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales.

7.1 Reducción de ecuaciones de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden, ejemplos.

7.2 Sistema de ecuaciones de primer orden homogéneas.

7.3 Soluciones linealmente independientes.

7.4 Ecuación del wronskiano y su solución.

7.5 Matriz fundamental y solución general.

7.6 Ecuaciones con coeficientes constantes, exponencial de una matriz, valores y vectores propios.

7.7 Sistema de ecuaciones de primer orden no homogéneas.

7.8 Método de variación n de parámetros, ejemplos.

7.9 Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homogéneas de primer orden, caso con coeficientes constantes y coeficientes continuos.

7.10 Aplicaciones, osciladores acoplados y modos normales de oscilación.

7.11 Circuitos eléctricos.

7.12 Sistemas de poblaciones, etc.

8. Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales.

8.1 Estabilidad de la solución de equilibrio de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.

8.2 Clasificación de los puntos de equilibrio en el plano y en el espacio.

8.3 Plano fase.

8.4 Dibujo cualitativo del plano fase, ejemplos.

9. Optativo: Ecuaciones en diferencias y métodos numéricos.

9.1 Ecuaciones lineales en diferencias.

9.2 Aplicaciones de ecuaciones de diferencias: el método de Newton.

9.3 Método de Euler.

-Bibliografía básica.

1. Arnold, V.I., Ordinary Differential Equations, 3rd edition, Berlin: Springer-Verlag, 1992.

2.Blanchard, P., Devaney, R., Hall, G., Ecuaciones Diferenciales, México: International Thomson Editores, 1999.

3. Braun, M., Differential Equations and their Applications, New York: Springer-Verlag, 1993.

4. Derrick, W., Grossman, S., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, México: Addison-Wesley Iberamericana, 1986.

-Bibliografía complementaria.

1. Boyce, W., Diprima, R., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, New York: J. Wiley, 2001.

2. Hasser, N.B., LaSalle, J.P., Sullivan, J.A., Análisis Matemático, Vol 2, México: Ed.

Trillas, 1977.