Presentación del grupo 8079 - 2010-2.

Roberto Álvarez

curso.roberto.alvarez@gmail.com

Leonor García

Evaluación

Tareas (~semanales) 40%

Exámenes (3 parciales) 60%

1 reposición.

Extra: 1 examen oral (8-10% de la calificación final)

1 exposición (pizarrón, póster, programa de cómputo, 4-5% de la calificación final)

Temario

1.Espacios vectoriales y operadores.

Definición de espacios y subespacios vectoriales.

Dependencia e independencia lineal.

Bases. Dimensión.

Producto Interno. Ortogonalidad. Norma.

Ortogonalización de Gram-Schmidt.

Teorema de Cauchy-Schwarz.

Espacios completos. Expansión de vectores en bases.

Desigualdad de Bessel y relación de Parseval.

Operadores. Representación matricial.

Transformaciones lineales y productos internos.

Operadores normales, hermitianos, unitarios.

Espacios de Hilbert.

Espacios L^p (cuadrado integrables).

Valores propios y vectores propios de operadores hermitianos.

Operador de Sturm-Liouville.

2.Series de Fourier

Funciones periódicas.

Ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

Definición de serie de Fourier.

Series de Fourier de periodos arbitrarios

Convergencia de la serie de Fourier.

Aproximación cuadrática media.

Series de Fourier en su expresión compleja.

Aplicaciones: Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.

Ecuaciones Diferenciales parciales de importancia en la física.

Ecuación de onda.

Ecuación de difusión.

Ecuación de Poisson y Laplace.

Ecuación de Helmholtz.

Ecuación de Schrödinger.

Condiciones de frontera: Dirichlet, Neumann y Robin.

3.Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas rectangulares.

Cuerdas vibrantes y la ecuación de onda 1D.

Solución a la ecuación de onda: Método de separación de variables.

Ecuación de propagación de calor en una dimensión.

Conducción de calor en barras.

Las ecuaciones bidimensionales de onda y propagación de calor.

Ecuación de Laplace.

Ecuación de Poisson: el método de expansión en eigenfunciones.

El pozo de potencial en la mecánica cuántica. Eigenfunciones y eigenvalores.

4.Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas polares y cilíndricas

El operador laplaciano en coordenadas polares y cilíndricas.

Vibraciones en una membrana circular: el caso simétrico. Caso general.

La ecuación de Laplace en regiones circulares.

La ecuación de Laplace en un cilindro.

Ecuaciones de Helmohltz y Poisson.

Funciones de Bessel de primera clase J_v(x). Relaciones de recurrencia. Ortogonalidad.Función generatriz.

Funciones de Bessel de segunda clase.

Funciones de Hankel.

Funciones modificadas de Bessel I_v(x) y K_v(x)

Funciones de Bessel esféricas.

Ecuación de Euler.

Fórmulas integrales y asintóticas de las funciones de Bessel.

Aplicaciones: Difracción de ondas debido a una apertura circular. Cavidades

cilíndricas resonantes. Electrón en un cilindro.

5. Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas esféricas.

El operador Laplaciano en coordenadas esféricas.

Expansión multipolar y potenciales.

Polinomios de Legendre.

El teorema de Dirichlet con simetría.

Polinomios de Legendre asociados.

Los armónicos esféricos y el problema general de Dirichlet.

La ecuación de Helmholtz( ecuaciones de Poisson, de onda y difusión)

El átomo de hidrógeno (polinomios de Laguerre asociados).

6. Funciones especiales y otros polinomios ortogonales.

Función delta de Dirac.

Función gama.

Función beta.

Polinomios de Hermite.

Polinomios de Chebyshev.

Funciones hipergeométricas.

Funciones de Green.

*7. Transformadas de Fourier y Laplace, convolución y correlación.

Transformada de Fourier .La representación integral.

La transformada de Fourier del seno,coseno y exponencial.

Propiedades de la transformada.

El método de la transformada de Laplace.

Las transformaciones de Hankel y sus aplicaciones.

Correlación. Teorema de la convolución.