Presentación del grupo 4282 - 2010-2.

TEORÍA DE CONJUNTOSI I I

José Alfredo Amor

El objetivo es presentar las mayores generalizaciones de inducción y recursión, así como los prerrequisitos de combinatoria infinita. Después los teoremas sobre pruebas de consistencia relativa del Axioma deConstructibilidad (V=L), Hipótesis del Continuo (HC) y Axioma de Elección (AE), con ZF. También la prueba de la no demostrabilidad de la existencia de cardinales inaccesibles, ni de la consistencia relativa de su existencia. Introducir el método de forcing y probar la independencia de V=L, de HC y del AE.

1. Relacionales bien fundados, limitados por izquierda y extensionales.

2. El principio del elemento R-minimal de una clase no vacía.

3. Inducción para relacionales bien fundados. Épsilon-inducción.

4. El esquema general de recursión para relacionales bien fundados.

5. El teorema del colapso de Mostowski.

II. PRUEBAS DE CONSISTENCIA RELATIVA

1. Modelos de la teoría de conjuntos: estándar y no estándar.
2. El teorema fundamental para pruebas de consistencia relativa.
3. Un modelo para ZFE suponiendo la existencia de cardinales inaccesibles.
4. Imposibilidad de probar la existencia de cardinales inaccesibles, ni la consistencia relativa de su existencia. Axioma de Tarski. El teorema de Reflexión.

1. Órdenes parciales y filtros. Condición de anticadena contable (CCC).
2. Axioma de Martín(AM) y equivalentes. Algunas consecuencias de AM_À1
3. El lema del Delta-sistema.

IV. EL MÉTODO DE MODELOS INTERNOS PARA PRUEBAS DE CONSISTENCIA RELATIVA

1. Absolutez y relativización de conceptos y operaciones teórico-conjuntistas.
2. El universo constructible L de Gödel. L como modelo interno minimal de ZFE.
3. Consistencia relativa con ZF, de los enunciados: V=L, HC, HGC, AE.
4. Limitaciones del método de modelos internos.

1. El método y Modelos ETN. El modelo base M y su extensión genérica M(G).
2. Colapso de cardinales. Los ordenes parciales (Fin(I, J), ⊇).
3. Consistencia relativa con ZF, de los enunciados: V≠L, ¬HC, ¬HGC.
4. La independencia del Axioma de Elección; sólo un esbozo, por falta de tiempo.

1. El problema del continuo en la jerarquía de los conjuntos bien fundados.

2. Diversos equivalentes del problema del continuo. La HC y el buen orden de losreales. La HGC y el AE. La HC y los axiomas fuertes de infinito.

3. Generalizaciones del Axioma de Martin. El Axioma Martin Máximo Acotado(BMM)

4. Los axiomas de forcing. Fortaleza cardinal. BMM implica que el cardinal del continuo es álef-2.

BIBLIOGRAFÍA BASICA

Kunen K. Set theory: an introduction to independence proofs, North Holland, 1980.Jech T. Set Theory, Springer, 2000.

Hernández F. Teoría de Conjuntos, Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998.

Campero G. ¿Es V distinto de L? Independencia del axioma de constructibilidad, Tesis UNAM, 1998.

Álvarez A. El problema del continuo antes de Cohen (1873-1963), Aportaciones Matemáticas 35,2005.

Amor J. A. El problema del continuo después de Cohen (1964-2004), Aportaciones Matemáticas 35,2005.

Amor J.A. Forcing y pruebas de independencia, Aportaciones matemáticas, No.9, SMM, 1991.

Amor J.A. El problema del continuo y las pruebas de independencia, en: La Continuidad en las Ciencias, Ed. Carlos Álvarez y Ana Barahona, UNAM-FCE, 2002.

Amor J. A., La Hipótesis Generalizada del Continuo y su relación con el Axioma de Elección, Crítica Vol. XXI No.62, 1989.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

D. Asperó y J. Bagaría, Bounded forcing axioms and the continuum. Annals of Pure and Applied Logic 109, 179-203 (2001).D. Asperó and P. Welch, Bounded Martin’s Maximum, weak Erdös cardinals, and ψ_AC. Próxima publicación en The Journal of Symbolic Logic (2002).J. Bagaría, Bounded forcing axioms as principles of generic absoluteness. Archive for Mathematical Logic 39, 393-401 (2000).J. Bagaría y R. Bosch, Solovay models and forcing extensions. Aceptado en The Journal of Symbolic Logic (2002).D. Booth, Ultrafilterson a countable set, Ann. Math. Logic 2, (1970/71).M. Foreman, M. Magidor and S. Shelah, Martin’s Maximum, saturated ideals, and non-regular ultrafilters. Part I. Annals of Mathematics, Vol. 127, 1-47 (1988).M. Goldstern y S. Shelah, The Bounded Proper Forcing Axiom. The Journal of Symbolic Logic, Vol. 60, 58-73 (1995).Thomas Jech, Set Theory, Springer Verlag, 2000.J.T. Moore, Proper forcing, the continuum and set mapping reflection, preprint.R. Schindler, Proper forcing and remarkable cardinals. Bulletin of Symbolic Logic 6, 176—184 (2000).R. Solovay, A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable, Annals of Mathematics 92, 1-56 (1970).S. Shelah y W. H. Woodin, Large cardinals imply that every reasonably definable set of reals is Lebesgue measurable. Israel Journal of Mathematics 70, 381-394 (1990).H. Woodin, The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms and the Nonstationary Ideal. De Gruyter Series in Logic and its Applications. Number 1. Berlin, New-York (1999).