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IngresarPresentación del grupo 4279 - 2010-2.
TEORIA DE LOS CONJUNTOSI
Objetivos. Un objetivo inicial es aclarar los malos entendidos y prejuicios sobre los dos conceptos indefinidos de la teoría: conjuntos (y posiblemente átomos o “urelementos”) yla relación de pertenencia (Î). La distinción conjunto-clase y aclaración de paradojas.El objetivo principal es dar a los alumnos elementos básicos de teoría de conjuntos que les sirvan en su formación matemática. Dos de los elementos principales son la aritmética cardinal y ordinal transfinita y el manejo claro del axioma de elección. Otro objetivo es construir los números naturales y probar los axiomas de Peano.
0. INTRODUCCIÓN0.1 Aclaraciones sobre el concepto de conjunto. Conjuntos y no conjuntos. El lenguaje de la teoría de conjuntos. Aclaración de paradojas.0.2 Construcción de conjuntos. ¿Cómo construimos conjuntos?0.3 El conjunto universo-local. La colección de todos los conjuntos no es un conjunto.
1. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS1.1 Par ordenado, producto cartesiano.1.2 Relaciones, particiones y funciones.1.3 Funciones: Inyectivas, suprayectivas, biyectivas, monótonas, etc.1.4 Ordenes parciales, totales y buenos. Conjuntos bien fundados e inducción fuerte.
2. LOS NÚMEROS NATURALES Y LOS NÚMEROS ORDINALES2.1Construcción de los números naturales ℕ. Conjuntos inductivos, axioma de infinito, principio de inducción. Construcción de los ordinales2.2 El Teorema de Recursión para números naturales y para ordinales.2.3 Sistemas de Peano. Unicidad. Aritmética, variantes de teorema de recursión.2.4 Aritmética de los ordinales. Construcción de ℤ, ℚ, ℝ.
3. EQUIPOTENCIA, FINITUD, DOMINANCIA Y ARITMÉTICA CARDINAL 3.1 Equipotencia. Ejemplos clásicos. Finitud. Propiedades, definiciones alternativas.3.2 Teorema de Cantor-Bernstein. La Dominancia es orden parcial. Teorema de Cantor. 3.3 Aritmética cardinal. Suma, producto y exponenciación.3.4 El problema del continuo: la Hipótesis del Continuo (HC) y la Hipótesis Generalizada del Continuo (HGC).
4. EL AXIOMA DE ELECCIÓN 4.1 Varios equivalentes del Axioma de Elección (AE). Lema de Zorn, Teorema del Buen Orden,la Dominancia es orden Total. La dominancia conjuntista como un buen orden.4.2 Más aritmética cardinal con AE. Dedekind-infinito e infinito. 4.3 Aplicaciones de AE, en especial del Lema de Zorn.
BIBLIOGRAFÍABÁSICAAmor J. A., Teoría de Conjuntos para estudiantes de Ciencias, Serv. Editoriales Facultad de Ciencias, UNAM, 2a. edición, 2005Hrbacek K., Jech T. Introduction to set theory, Marcel Dekker, 3a Edición, 1999.Henle J. M., An outline of set theory, Springer Verlag, 1986. BIBLIOGRAFÍACOMPLEMENTARIAEnderton H.B., Elements of set theory, Academic Press, 1977.Kamke E., Theory of Sets, Dover Pub., 1950.Hernández F., Teoría de Conjuntos, Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998.
Malitz J., Introduction to mathematical logic, Pert I Set Theory, Springer Verlag, 1984.Devlin K., The joy of sets, Springer Verlag, 1993.CrossleyJ. Et al, What is mathematical logic?, Dufdod University, 1972.Amor J.A. La teoría de conjuntos en el siglo XX, Miscelánea Matemática 31, SMM, 2000. BIBLIOGRAFÍAHISTÓRICABolzano B., Las paradojas del infinito, Mathema, UNAM, 1985.Cantor G. Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers, Dover, 1955.Juan Manuel Ruisánchez Serra,Infinito vs Aristóteles. Fotocopias.
HORARIO: Lunes a Viernes de 13 a 14 hs.CALENDARIO: 2 de febrero al 28 de mayo, en total 16 semanas de clase (8 semanas-clase + 1 semana-descanso + 8 semanas-clase). Exámenes: 31 de mayo al 11 de junio. Se aconseja no faltar nunca y hacer todas las tareas, obligatorias o no, en equipo. Lo más importante: preguntar siempre lo que no quede claro o aquello con lo que no estén de acuerdo.EVALUACIÓN: Habrá varias tareas y cuatro exámenes (el último será en la primera semana de exámenes ordinarios). Se aprueba el curso si y sólo si se aprueban todos los exámenes parciales. Sólo se pueden reponer dos exámenes parciales. Más de dos exámenes no aprobados obligan a examen final. Las reposiciones o el examen final se harán en la segunda semana de exámenes ordinarios.
ProfesorAyudante
Dr. José Alfredo AmorAlfonso González López
Cubículo 218Dep. Matem.agonzalez26m@hotmail.com
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