Presentación del grupo 4288 - 2010-2.

El área de la topología diferencial estudia propiedades de ciertos objetos llamados variedades, utilizando las herramientas del cálculo diferencial e integral. En este primer curso presentamos una introducción a estos temas.

En primer lugar se presenta a los actores de la obra: Las variedades diferenciables. Además se estudia las propiedades básicas de las transformaciones diferenciables entre variedades diferenciables. Por cierto, como todo en este curso será diferenciable, a veces omitiremos mencionar este término.

En este curso adoptaremos el punto de vista plasmado en el libro Differential Topology, de Guillemin y Pollack, considerando a las variedades como subconjuntos de algún espacio euclidiano. En este sentido, partiremos de una idea intuitiva de las variedades como generalización de los conceptos de "curva" y "superficie".

Los autores arriba mencionados señalan en el prefacio a su obra que su intención era dar una introducción a algunos de los temas de la Topología Diferencial, con base en un concepto intuitivamente claro, que es el de transversalidad. Dicho concepto será utilizado para desarrollar la teoría de intersección y la teoría de grado.

Aplicaremos la fuerza de estas herramientas para demostrar algunos interesantes resultados: una generalización del teorema de la curva de Jordan (una curva simple cerrada divide al plano en dos regiones), el teorema del índice de Poincaré-Hopf, y, si alcanza el tiempo, el teorema de Stokes.

En relación con la bibliografía, usaremos principalmente el libro ya mencionado, del cual existe (¡espero que todavía!) una traducción en la serie Aportaciones Matemáticas de la Sociedad Matemática Mexicana.

La manera de calificar: Dejaremos 4 o 5 tareas durante el semestre, de las cuales saldrán los ejercicios para los exámenes parciales. Podrán reponer a lo más un examen parcial al término del semestre, o bien presentar el examen final.

¡Los esperamos!

Oscar y Daniel