Presentación del grupo 4212 - 2010-2.

Nota importante: El curso es de 9 a 10 am, en el salón 2 o 3 del Instituto de Matemáticas..

Información del profesor: Mi oficina es la 211 en el instituto de matemáticas. Mi teléfono es 5622-4788. Lunes, miércoles y jueves estoy hasta las 11:45 am y regreso como a las 4. Martes y viernes estoy durante el día, sólo salgo a comer. Mi correo electrónico es: javier@math.unam.mx

Sobre el curso: El curso de geometría algebraica I es un curso introductorio a esta área que tiene relción con muchas otras áreas de las matemáticas contemporáneas. Es un área muy extensa y un primer curso puede ser dado de maneras muy diversas. Basta mencionar que el teorema de Fermat fue probado con técnicas de geometría algebraica y teoría de números, a esto se le llama geometría algebraica aritmética. Un área muy activa en la actualidad. También podríamos mencionar su relación tan importante con topología algebraica y sus aplicaciones a la física teórica a tráves de la geometría enumerativa.

En este primer curso daremos una introducción a varios de los conceptos más importantes que se necesitan para avanzar en el área. Los requisitos para el curso se mantendrán al mínimo posible. En particular se irá cubriendo el álgebra que sea necesaria. Esto último dependerá mucho de los cursos que hayan tomado los alumnos. Sí recomiendo que hayan llevado álgebra moderna I. Sería ideal álgebra moderna II, pero no es necesriamente un requisito indespensable.

Algunos de los temas a ver son los siguientes:

I) Conjuntos algebraicos afines

1) Conjuntos algebraicos afines y la topología de Zariski

2) Ideales de una conjunto algebraico afín

3) Irreducibilidad

4) El teorema de los ceros de Hilbert

5) Teorema de Bezout.

II) Conjuntos Proyectivos algebraicos

1) Espacio proyectivo.

2) Relación entre espacio afín y espacio proyectivo.

3) Conjuntos algebraicos proyectivos.

4) Ideal de un conjunto proyectivo algebraico

5) El anillo graudado asociado a un conjunto algebraico

III) Gavillas y variedades

1) El concepto de gavilla

2) La gavilla estructural de un conjunto algebraico afín.

3) Variedades afines.

4) Variedades algebraicas.

5) Anillos locales

6) Gavillas de módulos.

IV) Dimensión

1) Definición topologíca y su relación con álgebra.

2) Dimensión y contando ecuaciones.

3) Morfismos y dimensión

V) Espacio tangente y puntos singulares

1) Espacio tangente

2) Puntos singulares

4) Anillos locales regulares

5) Curvas

VI) Cohomología de gavillas.

1) Un poco de álgebra cohomológica.

2) Cohomología de Cech.

3) Teoremas de anulamiento.

4) La cohomología de los esquemas de las gavillas O(d) del espacio proyectivo de dimensión n.