Presentación del grupo 4142 - 2010-2.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE CIENCIAS

CARRERA DE MATEMATICO
ECUACIONES DIFERENCIALES I
HORAS A LA SEMANA/SEMESTRE: 5/80
HORAS TEORICAS PRACTICAS ....
CREDITOS: 10
SEMESTRE: CUARTO
CLAVE: 0162́
CARACTER: OBLIGATORIA.
MODALIDAD: CURSO.
SERIACION INDICATIVA ANTECEDENTE:
Geometría Analítica I, II,
Algebra Lineal I,
Cálculo Diferencial e Integral III.

SERIACION INDICATIVA SUBSECUENTE: Análisis Matemático II,
Cálculo de Variaciones,
Ecuaciones Diferenciales II,
Ecuaciones Diferenciales Parciales I,
Ecuaciones Integrales,
Física Computacional,
Geometría Diferencial I,
Historia de las Matemá́ticas I,
Introducció́n a la Fíısica Cuá́ntica,
Introducció́n Matemá́tica a la Mecá́nica Celeste,
Ló́gica Matemá́tica I,
Matemá́ticas Avanzadas de la Física,
Mecá́nica Analítica, Optica, Relatividad,
Seminario de Ciencia y Sociedad I, ...
OBJETIVO(S): El propósito de este curso es introducir al estudiante a la teoría de las
ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en los problemas de la vida real. Para alcanzar
este propósito el programa tiene los siguientes objetivos:

1. Iniciar al alumno en la modelación matemática de problemas a través de la formulación de ecuaciones diferenciales.
2. Proporcionar al alumno métodos analíticos, numéricos y cualitativos para el análisis de ecuaciones diferenciales.

HORAS A LA SEMANA/SEMESTRE: 5/80
SEMESTRE: CUARTO
TEORICAS PRACTICAS CREDITOS: 10

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UNIDADES TEMATICAS

1. Introducción (NUM.HORAS 4).

1.1 Repaso de nociones básicas y planteamiento de problemas generales.

1.2 Campos vectoriales en R^n y su ecuación diferencial asociada.

1.3 Definición de: orden, grado, espacio fase, espacio fase extendido, solución y retrato fase de una ecuación diferencial.

1.4 Ejemplos de métodos geométricos para analizar el retrato fase de una ecuación diferencial: isoclinas, familias de curvas

paramétricas tangentes al campo vectorial.
1.5 Planteamiento de problemas generales: Existencia y unicidad de soluciones;
aproximación de la solución y cuantificar el error.
1.6 Reducción de ecuaciones de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden, ejemplos.

Sugerencias bibliograficas: [B] pp 1-2; [I] pp 2-11;

2. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de una función realvaluada (NUM.HORAS 5)
2.1 Ecuaciones homogéneas.
2.2 Ecuaciones no homogéneas y método de variación de parámetros.
2.3 Teorema de Existencia y Unicidad y dependencia continua respecto a condiciones iniciales para este caso,

2.4 Ejemplos y aplicaciones. NOTAS (Historia de un Empujon....)

Sugerencias bibliograficas: [B] pp 2-11; pp11-19 (para aplicaciones); [I] pp 2-11;

2bis. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden en el plano con coeficientes constantes

(NUM.HORAS 9).

2b.1 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes,

a.-Caso diagonal, triangular, nilpotente conforme, solución general y retratos de fases,

b.-Caso general: Propiedades algebraicas del conjunto de soluciones,

c.-Solución general,

d.-Exponencial de una matriz de 2x2 y sus propiedades.
2b.2 Ecuaciones no homogéneas y método de variación de parámetros.

2b.3 Teorema de Existencia y Unicidad y dependencia continua respecto a condiciones iniciales, ejemplos y ejercicios.

2b.4 Aplicaciones.

Sugerencias bibliograficas: [B] pp 395-404; [HLS] capitulo 11 secciones 5,6,7: pp 607-631; NOTAS.

3. Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden de una funcion realvaluada (NUM.HORAS 9).
3.1 Ecuaciones separables, ecuaciones exactas y el método del factor integrante.
3.2 Ejemplos y aplicaciones.
3.3 Teorema de Existencia y Unicidad de Picard.
3.4 Ecuación integral, iterados de Picard.
3.5 Convergencia de los iterados de Picard.
3.6 Lema de Gronwall, dependencia de las condiciones iniciales.

4. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden (NUM.HORAS 10).
4.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes.
4.2 Propiedades del conjunto de soluciones, Independencia lineal de soluciones, wronskiano.
4.3 Solución general.
4.4 Ecuaciones no homogéneas, método de variación de parámetros (coeficientes indeterminados).
4.5 Interpretación geométrica de las soluciones en el plano, ejemplos.
4.6 Vibraciones mecánicas.
4.7 Oscilaciones amortiguadas y forzadas, resonancias.

5. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables (NUM.HORAS 12).
5.1 Método de solución por series de potencia.
5.2 Cá́lculo del radio de convergencia.
5.3 Ecuaciones singulares y el método de Frobenius.
5.4 Ejemplos de ecuaciones de Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff, Ecuación Hipergeométrica.

[HL] , [B]

6. Optativo: Transformada de Laplace y de Fourier (NUM.HORAS 6).
6.1 Métodos de solución de y aplicaciones para resolver ecuaciones de segundo orden.

7. Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales (NUM.HORAS 17).

7.1 Reducción de ecuaciones de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden, ejemplos.

7.2 Sistema de ecuaciones de primer orden homogéneas.

7.3 Soluciones linealmente independientes.

7.4 Ecuación del wronskiano y su solución.

7.5 Matriz fundamental y solución general.

7.6 Ecuaciones con coeficientes constantes, exponencial de una matriz, valores y vectores propios.

7.7 Núcleo de la matriz y vector propio generalizado, teorema de Cayley-Hamilton.

7.8 Sistema de ecuaciones de primer orden no homogéneas.

7.9 Método de variación de parámetros, ejemplos.

7.10 Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homogéneas de primer orden caso con

coeficientes constantes y coeficientes continuos.

7.11 Aplicaciones, osciladores acoplados y modos normales de oscilación.

7.12 Tanques de salmueras.

7.13 Circuitos eléctricos.

7.14 Sistemas de poblaciones, etc.

8. Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales (NUM.HORAS 12).
8.1 Estabilidad de la solución de equilibrio de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.
8.2 Clasificación de los puntos de equilibrio en el plano y en el espacio.
8.3 Plano fase.
8.4 Linearización de los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.
8.5 Descripción cualitativa de los conjuntos límite y el Teorema de Poincaré Bendixon en el plano.
8.6 Dibujo cualitativo del plano fase, ejemplos.

9. Optativo: Ecuaciones en diferencias y métodos numéricos (NUM. HORAS 5).
9.1 Ecuaciones lineales en diferencias.
9.2 Aplicaciones de ecuaciones de diferencias: el método de Newton.
9.3 Método de Euler.
9.4 Métodos de Runge-Kutta.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA (BB):

[A]. Arnold, V.I., Ordinary Differential Equations, 3rd edition, Berlin: Springer-Verlag, 1992.

[B-D]. Blanchard, P., Devaney, R., Hall, G., Ecuaciones Diferenciales, México: International Thomson Editores, 1999.

[B]. Braun, M., Differential Equations and their Applications, New York: Springer-Verlag, 1993.

[D-G]. Derrick, W., Grossman, S., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, México:

Addison-Wesley Iberamericana, 1986.

[I]. Ince, E.L., Ordinary Differential Equations, Dover Pub., NY.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA (BC):

[BD]. Boyce, W., Diprima, R., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,

New York: J. Wiley, 2001.
[HLS]. Hasser, N.B., LaSalle, J.P., Sullivan, J.A., Análisis Matemático, Vol 2, México: Ed. Trillas, 1977.