Presentación del grupo 8092 - 2010-1.

Matemáticas avanzadas de la física

Roberto Álvarez

ralvarez@fisica.unam.mx

Abraham Jurado

10 de agosto de 2009

Evaluación

40 % tareas (Aproximadamente una por semana)

60 % ex ́amenes (3)

+ 10 % exposici ́on de un tema a elegir o examen oral.

1 examen de reposici ́on

Temario

1. Espacios vectoriales

1.1 Espacios vectoriales y subespacios.

1.2 Dependencia e independencia lineal.

1.3 Bases. Dimensi ́on.

1.4 Espacios duales.

1.5 Producto interno.

1.6 Norma inducida por un producto interno.

1.7 El teorema de Cauchy-Schwarz.

1.8 La traza y la adjunta de una matriz.

1.9 El operador adjunto.

1.10 Transformaciones lineales y productos interiores.

1.11 Operadores unitarios en R2

1.12 Operadores normales, autoadjuntos, unitarios

1.13 Espacios de Hilbert.

2. Series de Fourier

1

2.1 Funciones peri ́odicas

2.2 Definici ́on de series de Fourier

2.3 Series de Fourier de funciones con per ́ıodos arbitrarios

2.4 Las series del seno y del coseno

2.5 Aproximaci ́on cuadr ́atica media y la identidad de Parseval

2.6 Seriesde Fourier en su forma compleja

2.7 Aplicaciones: Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.

3. Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas rectangulares

3.1 Cuerdas vibrantes y la ecuaci ́on de onda

3.2 Soluci ́on a la ecuaci ́on de onda unidimensional: M ́etodo de separaci ́on de varia-

bles.

3.3 M ́etodo de D’Alambert.

3.4 La ecuaci ́on de propagaci ́on del calor en una dimensi ́on.

3.5 Conducci ́on de calor en barras.

3.6 La escuaciones bidimensionales de onda y de propagaci ́on de calor.

3.7 Ecuaci ́on de Laplace en coordenadas rectangulares.

3.8 Ecuaci ́on de Poisson: El m ́etodo de la expansi ́on de eigenfunciones.

3.9 El pozo de potencial en la mec ́anica cu ́antica.

4. Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas polares y cil ́ındricas

4.1 El operador Laplaciano en coordenadas polares y cil ́ındricas.

4.2 Vibraciones en una membran circular: el caso sim ́etrico

4.3 Vibraciones en una membran circular: el caso general.

4.4 La ecuaci ́on de Laplace en regiones circulares

4.5 La ecuaci ́on de Laplace en un cilindro.

4.6 Las ecuaciones de Helmholtz y Poisson.

4.7 Funciones de Bessel de de primera claseJν(x). Relaciones de recurrencia. Orto-

gonalidad

4.8 Funciones de Bessel de segunda clase

4.9 Funciones de Hankel

4.10 Funciones modificadas de BesselIν(x) yKν(x)

4.11 Funciones de Bessel esf ́ericas.

2

4.12 F ́ormulas integrales y asint ́oticas de las funciones de Bessel

4.13 Aplicaciones :Difracci ́on de ondas debidas a una apertura circular.Cavidad ci-

lindr ́ıca resonante. Ecuaci ́on de Laplace en coordenadas cilindr ́ıcas

5. Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas esf ́ericas

5.1 El operador Laplaciano en coordenadas esf ́ericas

5.2 El problema de Dirichlet con simetr ́ıa

5.3 Los arm ́onicos esf ́ericos y el problema general de Dirichlet

5.4 La ecuaci ́on de Helmholtz ( ecuaciones de Posison, de onda y de calor).

5.5 Polinomios de Legendre.

5.6 El ́atomo de Hidr ́ogeno

6. Transformada de Fourier y de Laplace

6.1 Transformada de Fourier. La representaci ́on integral

6.2 La transformada de Fourier del seno y coseno.

6.3 La transformada de Laplace

6.4 El m ́etodo de la transformada de Laplace.

6.5 Las transformaciones de Hankel y sus aplicaciones.

7. *Otro polinomios ortogonales

7.1 Funciones de Hermite

7.2 Funciones de Laguerre

7.3 Polinomiosde Chebyshev

7.4 Funciones hipergeom ́etricas.

Bibliografa b ́asica

Arfken, J., 1966, Mathematical methods of physics, Academic Press, N.Y., USA.

Friedman, B., 1956, Principles and techniques of applied mathematics, John Wiley & Sons,

USA.

Keener, A., 1988, Principles of applied mathematics, transformations and approximations,

Addison? Wesley, USA.

Lebedev, N.N., 1970, Special functions and their applications, ed. Dover, N.Y., USA.

Weinberger, H.F., 1969, Partial differential equations, ed. Ginn Blaisdell.

Whithaker & Watson, 1927, A course in modern analysis, Cambridge University Press,

UK.

Bibliografa complementaria

3

Courant, R., Hilbert, D., 1989, Mathematical methods of physics, ed. Dover, N.Y., USA.

Jeffreys & Jeffreys, 1946, Mathematical physics, Cambridge University Press, UK.

Kevorkian, J., 1980, Perturbation methods in applied mathematics, ed. Springer ?Verlag,

Alemania.

Kevorkian, J., 1990, Partial differential equations, analytical solution techniques, ed. Words-

worth.