Presentación del grupo 4060 - 2009-2.

PROGRAMA DE CÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Las funciones Log y exp

Construcción de la función logaritmo natural. Derivada de la función log. Cálculo aproximado de algunos logaritmos. La función exponencial. Otras bases.

Derivadas de las funciones exponenciales. Derivación logarítmica. Funciones hiperbólicas y sus derivadas. Funciones hiperbólicas inversas. Límites de algunas funciones especiales.

La integral

Planteamiento y discusión del problema. Propiedades del área. El área como una función. Definición de la integral de una función continua. La integral definida. El área bajo una gráfica. Trabajo. Costo total. Beneficio. La antiderivada considerada como una integral. La integral como función de su límite superior. La integral considerada como una antiderivada. Unicidad de la integral.

El teorema fundamental del cálculo. Sumas inferiores y sumas superiores. Construcción de la integral. Continuidad uniforme. Teorema del valor medio para integrales. Integrales impropias. Convergencia de integrales impropias. Propiedades de la integral. El área entre dos gráficas. Intercambio de los límites de integración. Integración por sustitución. La integral indefinida. Sumas de aproximación. Control del error. La integral de Riemann.

Aplicaciones de la integral

Volumen. Sólidos de revolución. Volumen de un sólido de revolución. Método de los discos. Método de los casquillos. Longitud de arco. Longitud de arco del círculo. El número π. Área de una superficie. Área de una superficie de revolución. Valor promedio de una función. Momentos: caso continuo y caso finito. Otros ejemplos.

Métodos de integración

Integrales inmediatas. Integración por partes. Una aplicación: fórmula de Taylor con residuo en forma de integral. Integración por cambio de variable. Integración por sustitución trigonométrica. Método de fracciones parciales. Métodos de Euler.

Sucesiones y series

Sucesiones. Operaciones con sucesiones. Subsucesiones. Sucesiones: constantes, monótonas crecientes y decrecientes, acotadas. Convergencia de sucesiones. Sucesiones divergentes. Criterios de convergencia de sucesiones. Sucesiones de Cauchy. Demostración de dos teoremas importantes de funciones continuas.

Series. Operaciones con series. Subseries y rearreglos de una serie. Series convergentes y series divergentes. Series de términos no negativos. Series alternantes. Series absolutamente convergentes. Criterios para la convergencia de series. Series en forma telescópica. Empleo de la integral impropia para obtener un criterio de convergencia o divergencia de algunas series de términos positivos.

Integración numérica

Integración por rectángulos. Integración por trapecios. Integración por trapecios parabólicos. Polinomios de Taylor e integración numérica.

Introducción a las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones exactas. Otras ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Ejemplos y aplicaciones.

Bibliografía recomendada

Arizmendi-Carrillo-Lara. Cálculo. Primer curso, nivel superior. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Courant-John. Cálculo diferencial e integral. Volumen I. Ed. Trillas-Wiley

Gillman, McDowell. Calculus. Ed. Norton

Spivak. Calculus. Ed. Reverté