Presentación del grupo 4205 - 2009-2.

La geometría algebraica tiene sus antecedentes en la geometría analítica. Pero fue en el siglo XIX que se desarrolló con el trabajo de Schubert y Riemann. En sus inicios las preguntas que surgieron fueron dentro de la geometría proyectiva, cuántas líneas intersectan a una curva dada, o qué tipo de espacio es todas las líneas que pasan por un punto en el espacio proyectivo.

En este curso daremos una introducción a la geometría algebraica, introduciremos el espacio proyectivo y sus subvariedades algebraicas, es decir espacios que se obtienen como ceros de un número finito de polinomios.

El temario a cubrir será el siguiente:

I) Geometría, Álgebra y Algoritmos.

1) Polinomios y espacio afín.

2) Variedades afines.

3) Parametrizaciones de variedades afines

4) Ideales

II) Bases de Groebner.

1) Ordenando monomios en el anillo de polinomios de varias variables.

2) El algoritmo de la división.

3) Ideales monomiales

4) El teoerema de la base de Hilbert y bases de Groebner.

5) Propiedades de las bases de Groebner.

6) El algoritmo de Buchberger

7) Aplicaciones.

III) Dicionario entre Álgebra y Geometría.

1) El Teorema de ceros de Hilbert.

2) Ideales radicales y la correspondencia con variedades.

3) Sumas, productos e intersecciones de Ideales.

4) Variedades irreducibles e ideales primos.

5) Descomposición de una variedad en variedades irreducibles.

IV. Variedades Afínes

V. Variedades proyectivas

VI. Puntos suaves y dimensión

VII. Curvas planas cúbicas

VIII. Superficies cúbicas

IX. Introducción a la teoría de curvas.