Presentación del grupo 4163 - 2009-2.

Esta materia es de gran belleza e importancia, ya que conjuga el álgebra, la geometría, el cálculo y la topología. El curso que impartirécubrirá por completo el temario vigente que fue aprobado por el Consejo Técnico en años recientes, se probarán de manera detallada todos los teoremas y se exhibirán muchos ejemplos. Mi libro recientemente publicado cubre el temario y considero que ayuda a los alumnos a entender los temas de manera simple. Aunque el libro de Marsden-Hoffman cubre (y rebasa) el temario, en ciertos puntos cruciales me parece confuso e innecesariamente complicado, sin embargo es una referencia obligada, al igual que el libro de Ahlfors, éste último del nivel de la maestría.

TEMARIO 

I.PRELIMINARES Y ANALITICIDAD 

a) Álgebra y Geometría de complejos. 

b) Continuidad. Proyección estereográfica, métrica cordal. 

c) Funciones elementales: exponencial, ramas de logaritmo, raíces, potencias,trigonométricas. Descripción analítica 

y geométrica.

d) Analiticidad, ecuaciones de Cauchy-Riemann. Diferenciación de las funciones elementales, dominios deanaliticidad. 

e) Conformalidad,teorema de la función inversa. 

II. INTEGRACION 

a) Integral compleja, elteorema fundamental del cálculo, cotas superiores de integrales. 

b) Versiones particulares e intuitivasdel teorema de Cauchy. 

c) Lema de Goursat, teorema de primitivaslocales. 

d) Teorema de la deformación con homotopías, teorema de Cauchy, teorema de la primitiva, generalización 

de la función logaritmo. 

f) Integrales de tipo Cauchy, índice, fórmulas integrales de Cauchy. 

g) Teoremas de:Liouville,fundamental del álgebra y Morera

h) Lema de Schwartz y teorema del máximo módulo para funciones analíticas y armónicas. 

i) Funciones armónicas conjugadas, problema de Dirichlet y fórmula de Poisson. 

III. SERIES 

a) Convergencia absoluta e uniforme, prueba M de Weierstrass, teorema de Weierstrass.

b) Lema de Abel, teorema de Taylor, radio de convergencia, criterios de la raíz y de la razón para series de potencias, 

productos de series. 

c) Fórmula de Cauchy para el anillo, teorema de Laurent. 

d) Clasificación de singularidades,teorema de Riemann, relación entreceros y polos. 

e) Singularidades esenciales, teorema de Casorati-Weierstrass. 

f) Cálculo de residuos. 

IV. TEOREMA DEL RESIDUO Y APLICACIONES 

a) Teorema del residuo. 

b) Cálculo de integrales impropias de funciones racionales, cálculo de integrales trigonométricas. 

c) Cálculo de integrales definidas por la transformada de Fourier. 

TEXTO:

Lascurain Orive, A. Curso básico de variable compleja,  Las prensas de Ciencias, UNAM 2007.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA:

Hoffman M.J.  y Marsden J.E. Basic Complex Analysis,Freeman. 

Alfhors L, Complex Analysis, Mc Graw Hill.  

Primera reunión: Martes 3 de febrero.