Categorías Concretas Topológicas

Seminario A de Topología

El curso que aquí se propone consta de las cinco partes indicadas en el siguiente índice temático.

1. Categorías y Categorías Concretas.
2. Funtores y Concreciones.
3. Principio de Dualidad.
4. Inmersiones, Cocientes y Objetos Libres.
5. Categorías Concretas Topológicas.

En la parte 1, además de definirse los conceptos de categoría y de categoría concreta, se dan múltiples ejemplos de ambos conceptos.

En la parte 2 se presenta el concepto de funtor, con base en el cual se construye la idea de concreción (una idea debida al matemático ruso Alexander Kuroch, quien la dio a conocer en 1969). Este concepto permitirá evidenciar que son concretas (concretables) categorías que frecuentemente son presentadas como “ejemplos típicos” de categorías que no son concretas. De hecho, parte de la finalidad de esta sección del curso consiste en mostrar las dificultades que existen para probar la no concretabilidad de categorías efectivamente no concretas.

En la parte 3 se generalizan los conceptos topológicos de estructuras débiles y fuertes a fin de que cobren sentido en cualquier categoría concreta; esto da lugar a un interesante juego de correspondencias que tiene lugar tanto a nivel local (en cada categoría específica) como a nivel universal, y cuaja en un principio de dualidad.

El principio de dualidad permite seguir generalizando conceptos procedentes de otras categorías como la de los espacios topológicos y la de los grupos. Tales son los conceptos de inmersión, cociente y objeto libre, cuyas generalizaciones se estudian en la parte 4 de este curso.

Las partes anteriores son antecedentes necesarios para llevar a cabo un estudio preliminar de las mal llamadas (en el curso se verá por qué) categorías concretas topológicas. Estas categorías se definieron buscando aglutinar a todas aquellas categorías concretas que guardaran un estrecho parecido con la categoría Top de los espacios topológicos y de las funciones continuas. Resultados importantes referentes a este estudio fueron dados a conocer desde México en una investigación que sobre este tópico realizó Graciela Salicrup en 1978. Este curso bien puede ser considerado como una introducción al trabajo de Graciela.