Presentación del grupo 4555 - 2009-1.

INFORMACIONIMPORTANTE. Este curso presupone conocimientos intermedios de teoría de conjuntos y modelos de la teoría de conjuntos.El horario será: Lunes a Viernes de 10 a 11 hs. (Observar que hay un cambio de una hora antes, respecto al horario que aparece en la pagina).

La primera reunión (lunes 11 de agosto a las 10 hs) será en el cubículo 218 del Departamento de Matemáticas, pues el salón asignado P-103 es para la hora que sigue.

El temario es el siguiente:

SEMINARIO DE ANÁLISIS COMBINATORIO

(Independencia del Axioma de Elección, el Axioma de Martin y Cardinales Grandes)

Profesor José Alfredo AmorAyudante Luis Jesús Turcio

1.Introducción: Lema de Definibilidad y Lema de Verdad en Forcing.

2.Inmersiones, isomorfismos y forcing con modelos Booleano-valuados.

3.El submodelo simétrico del modelo genérico.

4.Los modelos Básicos de Cohen: independencia de AE y de AEN (Axioma de Eleccion Numerable)

1.El problema de las anticadenas. Solución parcial y algunos equivalentes.

2.Axioma de Martín(AM) y equivalentes. La independencia de AM.

3.El problema de Souslin. Hipótesis de Souslin (HS), independencia de HS.

4.Árboles, árboles Aronzajn, árboles de Souslin. Conjuntos cerrados no acotados y estacionarios.

5.El principio diamante (◊). Relación entre AM, HS, ◊, HC, V=L.

6.El teorema de Ramsey, casos particulares y generalizaciones.

III.CARDINALES GRANDES Y EL PROBLEMA DEL CONTINUO COMO PROBLEMA REAL

1.Los modelos H_k de los conjuntos hereditariamente de cardinal menor que k, para k cardinal regular.

2.El problema del continuo en la jerarquía de los conjuntos bien fundados. Diversos equivalentes del problema del continuo. La HC y el buen orden de los reales. La HGC y el AE. La HC y los axiomas fuertes de infinito.

3.Axiomas fuertes de infinito. Diversidad de áreas matemáticas que motivan su estudio: combinatoria infinita, teoría de la medida, teoría de árboles, teoría de modelos, teoría de ultrafiltros. Cardinales inaccesibles débiles, fuertes, de Mahlo, débilmente compactos, de Ramsey, medibles, de Woodin, compactos, enormes, superenormes, etc.

4.Repercusión de su (posible) existencia en la teoría de conjuntos y en la práctica matemática. El teorema de Scott.

BIBLIOGRAFÍA

1. Amor J. A., Pequeños grandes cardinales, tesis de maestría, UAM 1984.

2. Amor J. A., La Hipótesis Generalizada del Continuo y su relación con el Axioma de Elección, Crítica Vol. XXI No.62, 1989.

3. Amor J. A., El problema del continuo después de Cohen, Aportaciones Matemáticas No. 35 (pp.71-80), SMM, 2005.

4. Devlin K. J., The Souslin problem, Springer Verlag, 1974.

5. Jech T., Set theory, Springer, 2000.

6. Kunen K., Set theory: an introduction to independence proofs, North Holland, 1980.

7. Larson J., Breve introducción a técnicas de teoría de conjuntos, Escuela de Lógica, traducción de Diego Rojas, SLALM, Oaxaca, México, agosto 2006.

8. Lavine S., Understanding the infinite, Harvard University Press, 1994.

9. Mota M. A., ¿Qué se puede saber desde ZFE sobre el cardinal del continuo? Tesis de licenciatura, ITAM, 2003.

10. Rojas D., Algunos principios combinatorios en el modelo núcleo, tesis de maestría, UNAM, 1999.

Duración del curso: 11 agosto–5 diciembre. Total 17 semanas.

Método: Exposiciones del profesor, del ayudante y de los alumnos (por temas) en forma de seminario, con participación de todos.