Presentación del grupo 4382 - 2009-1.

Primera reunión: miércoles 13 de agosto, 17 hrs., salón P-107.

Descripción

En este curso estudiaremos temas avanzados de la geometría diferencial de superficies. Discutiremos la noción de curvatura en el contexto de cierto tipo de coordenadas y superficies especiales, así como las propiedades geométricas que se deducen de la importante noción de función exponencial. Demostraremos el teorema de Gauss-Bonnet, un notable resultado que relaciona la topología de una superficie (compacta) con su topología. Finalmente estudiaremos la geometría global de superficies, es decir, la relación entre propiedades diferenciales (locales) de una superficie con su topología global.

El curso está dirigido a estudiantes familiarizados con el material de geometría diferencial I. Se ofrecerá un repaso de las nociones de básicas de geometría diferencial necesarias para este curso.

Temario

Nociones básicas de geometría diferencial

• Repaso de superficies regulares
• Repaso de la función de Gauss y la noción de curvatura

Aplicaciones de la función de Gauss

• Campos vectoriales y parametrizaciones especiales
• Superficies Regladas
• Superficies Minimales

La geometría intrínseca de superficies

• Repaso de isometrías y símbolos de Christoffel; geodésicas y transporte paralelo
• El teorema de Gauss-Bonnet (relación entre curvatura y topología)
• La función exponencial y aplicaciones

La geometría global de superficies

• La rigidez de la esfera
• Superficies completas y el teorema de Hopf-Rinow
• Campos de Jacobi y puntos conjugados
• Espacios cubrientes y los teoremas de Hadamard
• Superficies abstractas
• Otras aplicaciones

Referencia principal

Do Carmo, Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall (1976). (Traducción al castellano: Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, editorial Alianza, segunda edición, 1995.)