Presentación del grupo 4340 - 2009-1.

Análisis de Fourier 1

En este curso se presentan los fundamentos del análisis de Fourier en espacios de Hilbert (espacios vectoriales, en general de dimensión infinita, con producto interno, completos respecto de la norma definida por dicho producto), el cual constituye la puerta de entrada a una de las ramas más importantes del análisis y de la matemática en general: el análisis armónico. El primer capítulo también constituye la base del análisis funcional.

Comenzaremos con un estudio de las propiedades algebraicas, métricas, y topológicas de los espacios vectoriales de dimensión infinita, los cuales, para este propósito, casi siempre se piensan como espacios de funciones. En este contexto, las series de Fourier se ven como expansiones ortogonales en espacios de Hilbert. La transformación de Fourier se obtiene entonces por medio de un proceso formal al límite a partir de la expansión trigonométrica de Fourier en el espacio L².

Los requisitos para inscribirse al curso son álgebra lineal 1 y variable compleja 1, aunque implícitamente se sobreentiende que el estudiante debe estar familiarizado con el análisis en Rⁿ y la integración de Lebesgue, particularmente con los espacios L^p. Naturalmente, también se supone que el alumno ya conoce, aunque sea de manera superficial, el aspecto operativo de las series de Fourier para funciones reales definidas en un intervalo cerrado. Un conocimiento preliminar de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como en derivadas parciales, sería muy útil, aunque no del todo indispensable. De cualquier forma, habrá oportunidad durante el curso de aclarar todos los conceptos necesarios.

La bibliografía en este campo es muy amplia, aunque yo me basaré principalmente en mis dos textos favoritos:

(1) Naylor & Sell. Linear operator theory in engineering and science. Springer.

(2) Shilov. Elementary functional analysis. Dover.

Contenido

1. Espacios métricos y normados

1.1 Bases en espacios de Hilbert

2. Series de Fourier

3. La transformación de Fourier

4. Las transformaciones discreta y rápida de Fourier