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IngresarPresentación del grupo 4284 - 2009-1.
El curso de Introducción Matemática a la Mecánica Celestepor Alejandro… (Físico ayudante del curso)Las grandes civilizaciones antiguas, como China y Grecia, dividieron a los cuerpos celestes en dos categorías: las estrellas y los planetas (cuerpos celestes dotados de movimiento).
Para los griegos, el Sol era un planeta, además, de la Luna, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno.
Las estrellas y los siete planetas eran los únicos cuerpos celestes conocidos en la antigüedad.
Desde la Tierra se observa que todos los planetas tienen un movimiento análogo al del Sol, aunque por lo general su comportamiento es un poco más complejo, el conjunto de esas complejidades fue a lo que se le llamó “El problema planetario”.
Las fases de la Luna, dada la facilidad con que pueden ser observadas y la comodidad intrínseca de los intervalos en que se reproducen, han constituido la más antigua de todas las unidades de calendario.
A medida que fue progresando el proceso civilizador, se intentó repetidas veces organizar estas unidades fundamentales en un calendario que fuera coherente a largo término.
Fue entonces que el calendario lunar, simple y evidente, se mostró insuficiente. “Sólo una compleja teoría matemática y observación sistemática permite determinar la duración de un futuro mes lunar en concreto”.
Los problemas de los calendarios lunares fueron en parte los responsables del nacimiento de la observación meticulosa y las teorías cuantitativas del movimiento de los planetas.
El problema del movimiento planetario perduro por muchos siglos, durante los cuales surgieron teorías matemáticas y filosóficas que trataban de resolverlo. Fue hasta la llamada “Revolución copernicana” en que se dio un gran avance continuando con la aparición de la obra de Newton, “los Principia”.
El objetivo del curso Introducción Matemática a la Mecánica Celeste es presentar la dinámica newtoniana para resolver problemas del movimiento de los cuerpos celestes, haciendo énfasis en el desarrollo matemático; además de profundizar en la teoría matemática del planteamiento del problema de tres cuerpos (por ejemplo el sistema Sol-Tierra-Luna).
Se seguirá el temario de la Facultad de Ciencias, accesible en:
http://www.matematicas.unam.mx/programas/bloque-II/intro_mecanica_celeste.pdfA continuación se presentan las unidades temáticas que se estudiarán en el curso, con una explicación del contenido de cada una, y se agrega una biografía recomendada.
Introducción.
Se da una breve reseña histórica de la Mecánica Celeste.
Se estudian las leyes de Newton y se desarrolla la mecánica newtoniana de una partícula, haciendo énfasis en los sistemas de referencia y en las ecuaciones de movimiento.
También se estudia la Ley Universal de la Gravedad de Newton.
Problema de fuerzas centrales y el problema de Kepler.
Los problemas de fuerzas centrales son sumamente importantes en Física. La fuerza de gravedad es central y es la que nos va interesar en el curso.
Se estudian las leyes de Kepler, los elementos orbitales y el movimiento elíptico; estos temas son estudiados con geometría euclidiana.
Problema de muchos cuerpos.
En las dos unidades anteriores se tratan problemas de una sola partícula, pues los problemas de dos cuerpos (sistema Sol-planeta), se pueden reducir a un problema de una sola partícula eligiendo correctamente el sistema de referencia.
En esta unidad se desarrolla la mecánica newtoniana de muchas partículas con lo cual se tendrán las reglas para resolver problemas de n-cuerpos.
Sin embargo, se verá que esta estrategia matemática resulta enormemente compleja, si no imposible de resolver.
El problema de tres cuerpos.
La complejidad matemática del problema de tres cuerpos es sorprendente. Newton y matemáticos como Euler y Lagrange desarrollaron técnicas matemáticas para resolver casos particulares de este problema exactamente.
A partir de esto, se generó una rama muy interesante de las matemáticas, el llamado Cálculo de Variaciones.
Antes de estudiar el problema de tres cuerpos, consideraremos nuevamente las ecuaciones de movimiento de Newton bajo una forma más general que recibe el nombre de ecuaciones de Lagrange, las cuales pueden deducirse del principio variacional llamado Principio de Hamilton.
Teoría de Perturbaciones.
En esta unidad se desarrollará la Mecánica en otra representación de la estructura de la teoría conocida por el nombre de formulación de Hamilton.
Con esto tendremos un método matemático más potente para trabajar con la teoría ya desarrollada.
La formulación de Hamilton constituye la base para desarrollos como la teoría de Hamilton-Jacobi y los métodos de perturbaciones, que nos permiten resolver problemas de forma aproximada.
Bibliografía.
Chebotarev G. A. Analytical and Numerical Methods of Celestial Mechanics. New York: American Elsevier, 1967.
Grossman, N. The Sheer Joyo of Celestial Mechanics. Boston: Birkhauser, 1995.Moulton F. R. An Introduction to Celestial Mechanics. New York: Dover, 1970.
Pollard H. Mathematical Introduction to celestial Mechanics. New Jersey: Prentice Hall, 1966.
Sternberg S. Celestial Mechanics. New York: W. A. Benjamín, 1966.
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