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Presentación del grupo 4503 - 2008-2.

TEORÍA DE CONJUNTOSI I I

José Alfredo Amor y Gabriela Campero

El primer objetivo es dar las mayores generalizaciones de inducción y recursión, así como los prerrequisitos de combinatoria infinita. El segundo objetivo es la prueba de la no demostrabilidad de la existencia de cardinales inaccesibles ni de la consistencia relativa de su existencia, así como presentar los teoremas sobre pruebas de consistencia relativa, con el método de modelos internos, del Axioma de Constructibilidad (V=L), la Hipótesis del Continuo (HC) y el Axioma de Elección (AE), respecto a ZF, así como las limitaciones de este método. El tercer objetivo es introducir el método de forcing y probar la independencia de V=L, de HC y del AE. Finalmente presentar algunos resultados del estado actual del problema del continuo como un problema real.

I. LOS ESQUEMAS GENERALES PARA RELACIONALES BIEN FUNDADOS

1. Relacionales bien fundados, limitados por izquierda y extensionales.

2. El principio del elemento R-minimal de una clase no vacía.

3. Inducción para relacionales bien fundados. Épsilon-inducción.

4. El esquema general de recursión para relacionales bien fundados.

5. El teorema del colapso de Mostowski.

II. PRUEBAS DE CONSISTENCIA RELATIVA

  1. Modelos de la teoría de conjuntos: estándar y no estándar.
  2. El teorema fundamental para pruebas de consistencia relativa con el método de modelos internos.
  3. Absolutez y relativización de conceptos y operaciones teórico-conjuntistas.
  4. Un modelo para ZFE suponiendo la existencia de cardinales inaccesibles fuertes.
  5. Imposibilidad de probar la existencia de cardinales inaccesibles fuertes ni la consistencia relativa de su existencia. Axioma de Tarski.
  6. El teorema de Reflexión y sus corolarios.

III. EL MÉTODO DE MODELOS INTERNOS PARA PRUEBAS DE CONSISTENCIA RELATIVA

  1. El universo constructible L de Gödel. L como modelo interno minimal de ZFE.
  2. Consistencia relativa con ZF, de los enunciados: V=L, HC, HGC, AE.
  3. Limitaciones del método de modelos internos.
IV. ELEMENTOS DE COMBINATORIA INFINITA1.Órdenes parciales y filtros. Condición de anticadena contable (CCC). 2.Axioma de Martín(AM) y equivalentes. Algunas consecuencias de AMÀ1
  1. El lema del Delta-sistema.
V. EL MÉTODO DE FORCING
  1. Descripción del método. Modelos ETN. El modelo base M y su extensión genérica M(G).
  2. Colapso de cardinales. Los ordenes parciales (Fin(I, J), ⊇).
  3. Consistencia relativa con ZF, de los enunciados: V≠L, ¬HC, ¬HGC.
  4. La independencia del Axioma de Elección.
VI. EL PROBLEMA DEL CONTINUO COMO PROBLEMA REAL

1. El problema del continuo en la jerarquía de los conjuntos bien fundados.

2. Diversos equivalentes del problema del continuo. La HC y el buen orden de losreales. La HGC y su relación con el AE. La HC y los axiomas fuertes de infinito.

3. Generalizaciones del Axioma de Martin. El Axioma de Martin Máximo Acotado o BMM.

4. Los axiomas de Forcing y la fortaleza cardinal.

5. Teorema de Todorcevic: BMM implica que el cardinal del continuo es álef-2.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Kunen K. Set theory: an introduction to independence proofs, North Holland, 1980.Jech T. Set Theory, Springer Verlag, 2000.

Hernández F. Teoría de Conjuntos, Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998.

Campero G. ¿Es V distinto de L? Independencia del axioma de constructibilidad, Tesis UNAM, 1998.

ÁlvarezA. Axioma de Elección y Teoría de la medida. Tesis licenciatura, Facultad de Ciencias UNAM, 2003.Mota M. A. ¿Qué se puede saber desde ZFE sobre el cardinal del continuo? Tesis licenciatura, Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM), 2003.Amor J. A., La Hipótesis Generalizada del Continuo y su relación con el Axioma de Elección, Crítica Vol. XXI No.62, 1989.

Amor J. A. Forcing y pruebas de independencia, Aportaciones matemáticas, Comunicaciones No.9, SMM, 1991.

Amor J. A. El problema del continuo y las pruebas de independencia, en: La Continuidad en las Ciencias, Ed. Carlos Álvarez y Ana Barahona, UNAM-FCE, 2002.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIAD. Asperó y J. Bagaría, Bounded forcing axioms and the continuum. Annals of Pure and Applied Logic 109, 179-203 (2001).D. Asperó and P. Welch, Bounded Martin’s Maximum, weak Erdös cardinals, and ψAC. Próxima publicación en The Journal of Symbolic Logic (2002).J. Bagaría, Bounded forcing axioms as principles of generic absoluteness. Archive for Mathematical Logic 39, 393-401 (2000).J. Bagaría y R. Bosch, Solovay models and forcing extensions. Aceptado en The Journal of Symbolic Logic (2002).D. Booth, Ultrafilterson a countable set, Ann. Math. Logic 2, (1970/71).M. Foreman, M. Magidor and S. Shelah, Martin’s Maximum, saturated ideals, and non-regular ultrafilters. Part I. Annals of Mathematics, Vol. 127, 1-47 (1988).M. Goldstern y S. Shelah, The Bounded Proper Forcing Axiom. The Journal of Symbolic Logic, Vol. 60, 58-73 (1995).J.T. Moore, Proper forcing, the continuum and set mapping reflection, preprint.R. Schindler, Proper forcing and remarkable cardinals. Bulletin of Symbolic Logic 6, 176—184 (2000).R. Solovay, A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable, Annals of Mathematics 92, 1-56 (1970).S. Shelah y W. H. Woodin, Large cardinals imply that every reasonably definable set of reals is Lebesgue measurable. Israel Journal of Mathematics 70, 381-394 (1990).H. Woodin, The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms and the Nonstationary Ideal. De Gruyter Series in Logic and its Applications. Number 1. Berlin, New-York (1999).

 


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