El Grado Topológico y sus Aplicaciones en Análisis No Lineal

Resumen

El grado topológico asigna un número entero al triple de un dominio acotado Ω en R^N, una campo vectorial continuo f en el cierre de Ω y un punto y∈ R^N \ f(∂Ω). Las propiedades del grado son tales que es una de las herramientas básicas en análisis no lineal. Aplicaciones incluyen teoremas de puntos fijos y teoremas sobre la geometría y topología de R^N. La extensión del grado a espacios de Banach (teoría de Leray-Schauder) es una herramienta para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales.

Información General

• Hay una página web para el curso.
• Empezando el Lunes, 18 de Febrero de 2008, el horario de las clases será Lu, Mi, Vi a las 11 hrs, en el Salón 4 del Instituto de Matemáticas.

Temario Tentativo

1 Introducción

Teorema de punto fijo de Banach, el grado en dimensión uno y dos, el número de giro, conceptos topológicos y espacios de funciones

2 Unicidad y Existencia del Grado

Extensiones continuas de funciones, regularización, Lema de Sard, el grado para operadores lineales, el grado para un valor regular y una función diferenciable, representación por un integral, el grado para valores singulares y funciones continuas, las propiedades del grado

3 Aplicaciones

Conexidad, mas propiedades del grado, teorema del punto fijo de Brouwer, no retractibilidad de la bola a su frontera, surjectividad de funciones, el teorema del erizo, los teoremas de Borsuk, Ulam, Lusternik y Schnirelmann, el problema del sandwich con jamón, la formula del producto, el teorema de separación de Jordan, el grado en espacios abstractos, reducción de dimensión

4 El Grado de Leray-Schauder

Contraejemplo al teorema de Brouwer en dimensión infinita, compacidad en espacios de Banach, el teorema de Tietze-Dugundji, operadores compactos, el grado de Leray-Schauder y sus propiedades, teoremas del punto fijo de Schauder y de Schäfer

5 Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales No Lineales

Ecuaciones diferenciales ordinarias, orbitas periódicas en ecuaciones diferenciales, operadores diferenciales parciales elípticos, cotas de Schauder y L^p, problemas elípticos sublineales

Bibliografía

1. C. Bandle and W. Reichel, Solutions of quasilinear second-order elliptic boundary value problems via degree theory, Stationary partial differential equations. Vol. I, Handb. Differ. Equ., North-Holland, Amsterdam, 2004, pp. 1-70. MR MR2103687 (2005m:35081)
2. K. Deimling, Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1985. MR MR787404 (86j:47001)
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