Presentación del grupo 4268 - 2008-2.

Geometría Diferencial I - Semestre 2008-II

Profesor: Dr. Antonio Hernández Garduño (ahernandez@leibniz.iimas.unam.mx)

Ayudante: Noé Francisco Verde Martínez (nfverde@yahoo.com.mx)

Anuncio: Geometría Diferencial II, semestre 2009-1

Este curso tendrá por objeto abordar la geometría diferencial global de superficies, es decir, el estudio de las relaciones entre propiedades diferenciales locales y propiedades globales (topológicas), comenzando con el celebrado teorema de Gauss-Bonnet que relaciona la curvatura con la topología de la superficie. Algunos temas básicos no cubiertos en geom. dif. I también serán abordados (campos vectoriales, el mapeo exponencial, propiedades de geodésicas). Si el teimpo lo permite, terminaremos con una introducción a la teoría de formas diferenciales.

Calificación final:

Éstas son las calificaciones finales. Se tiene de plazo hasta el viernes 27 de junio para cualquier aclaración.

Favor de pasar al cubículo 125 del departamento de matemáticas por sus tareas y exámenes.

Examen Final: miércoles 11 de junio, 17 hrs.

La sesión del jueves 5 de junio para resolver dudas se canceló debido a la llegada de Leonardo.

Última sesión para resolver dudas: martes 10 de junio, 17 hrs.

Guía para el examen final:

• Guía de ejercicios para examen final.

• Los "ejercicios opcionales" formulados en clase; véase el complemento a la guía para el examen final.

Tareas

Tarea #1 (para entregar el miércoles 20 de febrero)

Tarea #2 (para entregar el martes 4 de marzo)

Tarea #3 (para entregar el martes 25 de marzo)

Tarea #4 (para entregar el viernes 11 de abril)

Tarea #5 (para entregar el jueves 24 de abril)

Tarea #6 (Resolver 7 de los 10 problemas. Para entregar el lunes 2 de junio)

Temario

1. Curvas
   1. Curvas parametrizadas
   2. Curvas regulares y longitud de arco
   3. El producto vectorial en R³
   4. Teoría local de curvas parametrizadas por longitud de arco. Fórmulas de Frenet.
   5. Desigualdad isoperimétrica*. Teorema de los cuatro vértices*.
2. Superficies regulares
   1. Definición de superficie regular. Imagen inversa de valores regulares.
   2. Funciones diferenciables sobre superficies
   3. El plano tangente y la diferencial de una función
   4. Primera forma fundamental
3. La función de Gauss
   1. Definición de la función de Gauss y propiedades básicas
   2. Segunda forma fundamental
   3. Estudio de la función de Gauss en coordenadas locales
   4. Campos vectoriales*
   5. Superficies regladas y minimales*
4. Estudio intrínseco de superficies
   1. Isometrías
   2. Teorema "Egregium" de Gauss.
   3. Transporte paralelo y geodésicas

* = Tema tentativo, a cubrirse dependiendo del tiempo.

Referencia principal

Buena parte del material del curso y los ejercicios de las tareas se basarán en:

Do Carmo, Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall (1976).

Política de calificación

La calificación final será compuesta por la evaluación en los exámenes (51%), las tareas (40%) y la participación en clase (teoría y ayudantías) (9%). Habrá dos exámenes parciales y un examen final.

A partir de la segunda tarea, las tareas se calificarán sobre 10 - d, donde d es el número de días de atraso en entregar la tarea. (Se podrán hacer excepciones cuando el caso lo amerite.)