Presentación del grupo 4050 - 2008-2.

1.Funciones de R en R^N
1.1 Funciones de R en R^N como curvas en el espacio, límites y derivadas en términos de las componentes.
1.2 La diferencial de una curva en el espacio, velocidad y el vector tangente, rapidez.
1.3 Propiedades de los límites y la derivada con respecto a la suma y el producto.
1.4 Curvas rectificables, longitud de arco, parametrizaci´on unitaria por longitud de arco, comparaci´on de parametrizaciones.
1.5 Normal principal, curvatura, torsión y plano osculante.
1.6 Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio.
1.7 Fórmula de Frenet-Serret (opcional).

2. Espacios normados
2.1 Espacios vectoriales, normas en R^N

TEMAS PARA EL SEGUNDO PARCIAL
3. Topología de R^N y funciones de R^N en R^M
3.1 Conjuntos abiertos, cerrados, frontera.
3.2. Caracterización de compactos, prueba del teorema de Heine Borel, producto de compactos.
3.3 Conexidad y conexidad relativa.
3.4 Definici{on de coordenadas polares, cil´ndricas y esféricas.
3.5 Funciones de R^N en R^M, límites y continuidad
3.6 Teoremas de continuidad en compactos o en conexos, ejemplos.
3.7 Teorema de Bolzano-Weierstrass.
3.8 Funciones continuas en compactos

4. Funciones de R^N en R
4.1 Conjuntos de nivel y gráficas 4.2 Diferenciabilidad, propiedades, derivadas direccionales y derivadas parciales.
4.3 Gradiente de una función, propiedades: dirección de máximo cambio, definición de puntos críticos.
4.4 Teorema del valor medio, criterio de diferenciabilidad en términos de parciales, derivadas de orden superior, plano tangente a una superficie.
4.5 Diferenciales de orden K, aproximación por polinomios de taylor, ejemplos.

TEMAS PARA EL TERCER PARCIAL

5. Transformaciones
5.1 Matrices, determinantes y resolución de sistemas.
5.2 Valores y vectores propios
5.3 Formas bilineales y cuadráticas.

6. Funciones de R^N en R^M
6.1 Diferenciabilidad, jacobiano, regla de la cadena, ortogonalidad del gradiente a los conjuntos de nivel.
6.2 Teoremas de función inversa e implícita en demostraciones, ejemplos.
6.3 Teorema del rango
6.4 Definición del operador de divergencia, laplaciano y rotacional.
6.5 Ejemplos.

7. Máximos y mínimos
7.1 Puntos críticos, formas cuadráticas definidas positivas, diagonalización y criterios de positividad, aplicación a Hessianos para detectar máximos, mínimos y puntos silla, lema de morse.
7.2. Máximos y mínimos con restricciones, multiplicadores de Lagrange, ejemplos.

Exámenes: 40 %
Tareas: 30 %
Solucion de ejercicios por el alumno en clase: 30 %

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
1. Apostol, T.M., Calculus, Volumen I. México: Ed. Revert´e, 2001.
2. Courant, R., Differential and Integral Calculus, vol 2, New York: J. Wiley, 1936.
3. Courant, R., John, F., Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, vol. 2, México: Limusa, 1974.
4. Lang, S., Calculus of Several Variables, New York: Springer, 1987.
5. Marsden, J., Tromba, A., Cálculo Vectorial, México: Addison-Wesley, Pearson Educación, 1998.
6. Thomas, G.B., Finney, R.L., Cálculo: varias variables, México: Adisson-Wesley Longman, 1999.