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Presentación del grupo 4226 - 2008-1.

Profesor: Dr. Antonio Hernández Garduño (ahernandez@leibniz.iimas.unam.mx)
Ayudante: Noé Francisco Verde Martínez (nfverde@yahoo.com.mx)

De qué se trata el curso

Introduciremos nociones básicas de geometría diferencial (variedades y funciones diferenciables, transversalidad, homotopía, teorema de Sard, ...), generalizando la noción de superficie que conocemos de cálculo, sin detenernos en las tecnicalidades asociadas a la definición intrínseca de estructura diferencial. Nos familiarizaremos con la teoría de intersección, estudiando primero la noción de intersección módulo 2 para después abordar el tema de orientación. Usaremos esta herramienta para estudiar propiedades topológicas (propiedades invariantes bajo homeomorfismos). Así (dependiendo del ritmo del curso) abordaremos temas como la teoría de punto fijo, el teorema de Poincaré-Hopf, el teorema de grado y la característica de Euler.

Modo de calificar
El curso se calificará con tareas (70%) y participaciones (30%). Éstas últimas tendrán como objeto exponer las soluciones de algunos ejercicios y posiblemente algunos temas de la teoría.
Temario
  1. Variedades y transformaciones suaves
    1. Definiciones básicas.
    2. Espacios tangentes y derivadas.
    3. El teorema de la función inversa. Inmersiones. Submersiones.
    4. Transversalidad.
    5. Homotopía y estabilidad.
    6. Teorema de Sard y funciones de Morse.
    7. Encaje de variedades en el espacio euclideano.
  2. Transversalidad e intersección
    1. Variedades con frontera.
    2. Variedades de dimensión uno y algunas consecuencias.
    3. Transversalidad.
    4. Teoría de intersección módulo 2.
    5. Número de vueltas y el teorema de separación de Jordan-Brouwer.
  3. Teoría de intersección orientada
    1. Orientación.
    2. Número de intersección orientada.
    3. Teoría de punto fijo de Lefschetz.
    4. Campos vectoriales y el teorema de Poincaré-Hopf.
    5. El teorema de grado de Hopf.
    6. La característica de Euler y las triangulaciones.
Bibliografía
Referencia principal: Guillemin, V.W. y Pollack, A., Topología Diferencial. Traducción de Óscar Palmas. Aportaciones de la SMM, Textos volumen 20, 2003.
Referencias complementarias:
- Brocker, T. y Janick, K., Introduction to Differential Topology. Cambridge University Press, 1982.
- Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag, 1983.

 


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