Presentación del grupo 4177 - 2008-1.

Resumen

La difusión de calor, propagación de concentraciones en soluciones químicas, propagación de especies en el medio ambiente, los campos eléctricos y magnéticos, cambios de métricas en variedades: Todos estos procesos y estados se describen matemáticamente por ecuaciones diferenciales parciales. En el seminario tratamos los conceptos de análisis funcional, necesarios para desarrollar la teoría de existencia de soluciones y de su comportamiento cualitativo en el caso lineal estacionario. El contenido de este seminario da el fundamento para resolver las ecuaciones diferenciales parciales no lineales elípticas que aparecen en la física, química, biología y las matemáticas.

Temario

1. Análisis Funcional

1.1 Espacios de Banach

Espacios normados, espacios de Banach, el espacio de los operadores lineales acotados, la serie de Neumann, equivalencia de normas, espacios duales, convergencia débil, proyecciones, suplementarios topológicos, el lema de Riesz, el teorema de Hahn-Banach

1.2 Espacios de Hilbert

Productos escalares, ortogonalidad, existencia y propiedades del suplementario ortogonal, operadores simétricos, proyecciones ortogonales, sistemas ortogonales de vectores, separabilidad, teorema de representación de Riesz, operadores adjuntos, relaciones entre imágenes y núcleos de un operador y su adjunto, operadores con rango cerrado, compacidad débil de sucesiones acotadas

1.3 Teoremas Fundamentales

el lema de Baire, los teoremas de la aplicación abierta, de la inversa continua, de la gráfica cerrada, el principio de acotación uniforme, el teorema de Banach-Steinhaus

1.4 Operadores compactos

definición, ejemplos, composiciones de operadores lineales compactos, relación con la topología débil, operadores compactos y espacios de dimensión finita la teoría de Riesz-Fredholm

1.5 Teoría del Espectro

definición y propiedades básicas, operadores compactos, operadores simétricos, operadores simétricos compactos

2. Espacios de Funciones

2.1 Funciones Diferenciables

diferenciabilidad, gradiente, derivadas parciales, multiindices, espacios de funciones diferenciables y sus normas, soporte compacto, regularizadores, densidad de funciones de soporte compacto, un lema de tipo Urysohn con función lisa, continuidad de Hölder, espacios de Hölder

2.2 Derivadas Débiles

integración parcial, definición de la derivada débil, unicidad, ejemplos, propiedades, espacios de Sobolev, integridad de espacios de Sobolev

2.3 Inyecciones

El teorema de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev, la desigualdad de Poincaré, inyecciones continuas, inyecciones y compacidad en dimensión 1, el teorema de Rellich-Kondrakov, inyecciones compactas

3. Ecuaciones Diferenciales Parciales Elípticas

3.1 Operadores Diferenciales Elípticos

Operadores de forma divergencia y no divergencia, elipticidad, el Teorema de Lax-Milgram, coercividad

3.2 Problemas con Valores en la Frontera

Soluciones débiles, problemas elípticos de Dirichlet, existencia en el caso positivo definido, el operador de Green y su operador adjunto, el problema de Dirichlet adjunto, la Alternativa de Fredholm, el espectro de un problema de Dirichlet, el caso simétrico, regularidad, soluciones clásicas

3.3 Positividad

El principio del máximo, simplicidad del primer valor propio