Presentación del grupo 4263 - 2007-2.

El Grado de una Función y sus aplicaciones en Análisis No Lineal

El grado asigna a un conjunto acotado Ω en R^N, una función continua f: Ω→R^N y un punto y∈ R^N \ f(∂Ω) un número entero. Las propiedades del grado son tales que el es una de las herramientas básicas en análisis no lineal. Aplicaciones incluyen teoremas de puntos fijos y teoremas sobre la geometría y topología de R^N. La extensión del grado a espacios de Banach (teoría de Leray-Schauder) es una herramienta para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales.

El temario tentativo:

1. Introducción

Teorema de punto fijo de Banach, el grado en dimensión uno, número de vueltas, teorema del punto fijo de Brouwer, ecuaciones diferenciales sublineales

2. Unicidad y Existencia del Grado en Dimensión Finita

Homotopías, extensión de funciones, regularización, Lema de Sard, el grado para operadores lineales, el grado para un valor regular y una función diferenciable, representación por un integral, valores singulares, funciones continuas, las propiedades del grado

3. Aplicaciones en Dimensión Finita

Mas propiedades del grado, teorema del punto fijo de Brouwer, el teorema de Perron-Frobenius, no retractibilidad de la bola, surjectividad de funciones, el teorema del erizo, el teorema de Borsuk, la formula del producto, el teorema de separación de Jordan

4. Extensiones y Relaciones con Otras Teorías

conjuntos no acotados, grado en espacios vectoriales generales de dimensión finita, reducción de dimensión, el teorema de Hopf, el índice de una solución aislada, el numero de vueltas, campos gradientes

5. El Grado en Espacios de Banach

Contraejemplo al teorema de Brouwer en dimensión infinita, extensión de funciones, operadores compactos, el grado y sus propiedades, teorema del punto fijo de Schauder, teorema del punto fijo bajo cotas a priori, ecuaciones asintóticamente lineales, reducción de dimensión, el grado para operadores lineales, el índice de una solución aislada, el grado del gradiente en un mínimo

6. Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias, orbitas periódicas en ecuaciones diferenciales, operadores diferenciales parciales elípticos, cotas de Schauder y L^p, ecuaciones asintóticamente lineales, semi- y quasilineales, el principio del máximo, el grado entre sub- y supersoluciones