Presentación del grupo 4253 - 2007-2.

Geometría algebraica es una de las ramas más importantes que hay en la matemática moderna. Su relación con otras áreas es inmensa y su influencia en la matemática contemporánea es imposible de negar.

El curso da un panorama entre la fuerte relación de geometría y álgebra. El primer contacto que han visto es geometría analítica. Empezaremos estudiando las variedades en el espacio euclideano y seguiremos al espacio proyectivo. El curso tendrá un enfoque geométrico y combinatorio de tal forma que el alumno pueda seguir por diferentes caminos dentro de la geometría algebraica, uno más formal y algebraico o un enfoque combinatorio y computacional.

Llevaremos un libro de texto muy accesible: Ideals, varieties, and algorithms. Por David Cox, J.Little y D. O'Shea.

Los temas a ver son:

I) Geometría, Álgebra y Algoritmos.

1) Polinomios y espacio afín.

2) Variedades afines.

3) Parametrizaciones de variedades afines

4) Ideales

II) Bases de Groebner.

1) Ordenando monomios en el anillo de polinomios de varias variables.

2) El algoritmo de la división.

3) Ideales monomiales

4) El teoerema de la base de Hilbert y bases de Groebner.

5) Propiedades de las bases de Groebner.

6) El algoritmo de Buchberger

7) Aplicaciones.

III) Dicionario entre Álgebra y Geometría.

1) El Teorema de ceros de Hilbert.

2) Ideales radicales y la correspondencia con variedades.

3) Sumas, productos e intersecciones de Ideales.

4) Variedades irreducibles e ideales primos.

5) Descomposición de una variedad en variedades irreducibles.

IV) Polinomios y funciones racionales en una variedad.

1) Mapeos polinomiales.

2) Cocientes en el anillo de polinomios.

3) El anillo de coordenadas de una variedad afín.

V) Teoría invariante de grupos finitos.

1) Polinomios simétricos.

2) Anillos de invariantes.

3) Generadores del anillo de invariantes.

4) Relaciones entre generadores y la geometría de orbitas.

VI) Geometría algebraica proyectiva.

1) El plano proyectivo.

2) Espacio proyectivo y variedades proyectivas.

3) El diccionario proyectivo entre álgebra y geometría.

4) La cerradura proyetiva de un espacio afín.

5) La geometría de las hipersuperficies cuádricas.

VI) Dimensión de una variedad.

1) La variedad de una ideal monomial.

2) El complemento de un ideal monomial.

3) la función de Hilbert y la dimensión de una variedad.

4) Dimensión e independencia algebraica.

5) Dimensión y nosingularidad.

6) El cono tangente.