Presentación del grupo 5048 - 2007-2.

Programa de Matemáticas II

Grupo 5048

Semestre 2007-2

Profr. José Luis Gutiérrez S.

jlgtz.uacm@gmail.com

jlgs@nolineal.org.mx

HORARIO

Lunes, Martes, Jueves y Viernes

10:00 a 11.00

Miércoles

10:00 a 12:00

LUGAR

Salón 103 del Tlahuizcalpan

I. Presentación.

Este curso es una invitación a familiarizarse con el uso de la matemática en el estudio de procesos biológicos. La matemática es un método de investigación, un instrumento que representa la realidad, sugiere su entramado y la pone a disposición para reflexionar en ella. Más allá de la observación y el registro inmediato de los hechos que, por sí solos, no constituyen una ciencia, la matemática descubre regularidades en medio del aparente marasmo.

Matematizar una disciplina es penetrar los objetos de estudio para encontrar en ellos lo esencial y acotar lo contingente. Es concebir al mundo, en particular el de los seres vivos, como un lugar donde somos capaces de postular principios generales de organización desde los que es posible sugerir leyes que nos permitan comprender a la naturaleza y descubrir relaciones estructurales o dinámicas que la hacen inteligible.

II. Temario.

1. Sistemas dinámicos discretos.

   1. Ejemplos simples de dinámica complicada:

      1. Filotaxia. Meristemos y primordios. Números de Fibonacci.

      2. El mapeo lineal. Crecimiento demográfico exponencial.

      3. El mapeo cuadrático. Una caja de sorpresas en la dinámica poblacional.

   2. Herramientas para el análisis:

      1. Órbitas y análisis gráfico.

      2. Cuencas de atracción.

      3. Retrato fase.

   3. Azar y caos determinista. Fractalidad.

      1. Sensibilidad a las condiciones iniciales. Efecto mariposa.

      2. Bifurcaciones: cambios cualitativos en un sistema.

      3. El diagrama de bifurcación del mapeo cuadrático. La constante de Feigenbaum.

2. Cambio continuo: elementos de cálculo diferencial.

   1. La derivada de una función definida en un intervalo:

      1. Razones de cambio promedio.

      2. El paso al límite y la razón de cambio infinitesimal.

      3. La ecuación de la recta tangente y la mejor aproximación lineal a una función en un punto.

      4. La función derivada y su cálculo. Diferenciación con programas de cálculo simbólico como Maple o Mathematica.

   2. ¿Qué se puede decir de una función si tenemos una conjetura plausible acerca de su derivada?

      1. Cinética química. Ley de acción de masas.

      2. Crecimiento orgánico. Modelos bertalanffyanos.

      3. Crecimiento demográfico continuo. Malthus, Verhulst y Gompertz.

      4. Cinemática. Galileo, las ecuaciones del tiro parabólico y el renacimiento de la física moderna.

   3. Análisis de la variación de las funciones.

      1. Crecimiento y decrecimiento. Puntos estacionarios.

      2. Concavidad. Puntos de inflexión.

      3. Comportamiento asintótico. Homeostasis.

3. Cambio continuo: elementos de cálculo integral.

   1. La integral definida de una función continua definida en un intervalo como resultado de un proceso de acumulación continua.

      1. Desplazamento de un móvil.

      2. Masa corporal acumulada.

      3. Área signada entre una curva y el eje horizontal.

      4. Integración aproximada: reglas del punto medio, el trapecio y Simpson.

   2. Los teoremas fundamentales del cálculo.

      1. Primitivas de una función en un intervalo.

      2. Funciones dependientes del límite superior en una integral definida.

      3. Primer teorema fundamental: la función de área signada acumulada bajo y=f(t) es una primitiva de f(x).

      4. Segundo teorema fundamental: la integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual a la diferencia G(b)-G(a) donde G(x) es cualquier primitiva de f(x).

         Cinemática. Galileo, las ecuaciones del tiro parabólico y el renacimiento de la física moderna.

   3. Métodos básicos de integración:

      1. La regla de sustitución.

      2. Integración por partes.

      3. Integración con programas de cálculo simbólico como Maple o Mathematica.

   4. Aplicaciones al cálculo de probabilidades.

      1. Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua.

      2. Cálculo de probabilidades, dada la función de densidad.

      3. Valor promedio de una funcion continua en un intervalo.

      4. El azar y la necesidad, consecuencias evolutivas: genética mendeliana en poblaciones sin traslapes; presión selectiva; selección de alelos dominantes o recesivos.

4. Sistemas dinámicos continuos.

   1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

      1. Modelos con ecuaciones diferenciales.

      2. Problemas con condiciones iniciales.

      3. Ecuaciones de variables separables.

   2. Métodos numéricos y análisis cualitativo.

      1. Campos de pendientes.

      2. Equilibrios y análisis de la línea de fase.

      3. Bifurcaciones.

   3. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (SEDO).

      1. Campo vectorial correspondiente a un SEDO.

      2. Campo de direcciones de un SEDO.

      3. Curvas solución de un problema planteado mediante un SEDO con condiciones iniciales.

   4. Breve introducción a la ecología matemática.

      1. Modelos depredador-presa y sistemas de Lotka-Volterra.

      2. Modelos de interacción específica.

      3. Variaciones sobre el mismo tema.

III. Evaluación.

Se evaluará exclusivamente con base en los exámenes parciales, de acuerdo a las siguientes reglas:

Aproximadamente cada dos semanas se hará un examen parcial breve (ordinario) que podrá constar de una parte para resolverse individualmente en el salón de clase y una parte para resolverla en casa en equipos de no más de tres personas. En total se harán entre cuatro y seis exámenes parciales.

La calificación numérica del curso se obtendrá desdeñando la calificación más baja de los parciales ordinarios y promediando sobre las restantes.

Quien no estuviese satisfecho con la calificación así obtenida podrá presentar hasta cuatro exámenes (de reposición) en dos sesiones de dos horas y media en las fechas y horarios programados al final del semestre para la primera y la segunda vueltas.

Sólo podrán presentar exámenes de reposición quienes hayan hecho al menos las dos terceras partes de los exámenes parciales ordinarios.

IV. Bibliografía básica.

1. Blanchard, Paul. Et al. (1998). Ecuaciones diferenciales. México, Thomson.

2. Devaney, Robert L. (1992). A First Course in Chaotic Dynamical Systems. Theory and Experiment. Reading, Addison-Wesley.

3. Gutiérrez Sánchez, J.L. y F. Sánchez Garduño. (1998) Matemáticas para las ciencias naturales. México, Sociedad Matemática Mexicana.

4. Stewart, Ian. (1998). Life's Other Secret. The New Mathematics of the Living World. Nueva York. John Wiley.