Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Primer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral I

Grupo 4013, Semestre 2022-2

Las materias de Cálculo, principalmente las dos primeras: Cálculo I y Cálculo II, tienen doble propósito.

Aparte de guiar al estudiante para que aprenda los temas relacionados con la derivada e integral (es decir, ¡estudiar Cálculo!), tienen un carácter formativo tan importante, que llevar un buen curso de Cálculo hace más placentera la estancia en la Facultad.

En particular, en Cálculo I es donde hace crisis el sentido común del alumno de primer ingreso. ¡Nada se parece a lo que uno sabía! De ahí la afirmación, medio en serio medio en broma, de los maestros de Cálculo I: ¡¡¡Olvídense de todo lo que saben, vamos a comenzar desde cero!!!!

No es que, en realidad, vayamos a comenzar desde cero, pero sí vamos a poner muchas cosas en su lugar: vamos a educar nuestro sentido común para que se nos ocurran cosas sensatas, para que podamos confiar en nuestra intuición.

Todavía no hay un acuerdo en la manera de enseñar los primeros cursos de Cálculo, los maestros de física se quejan de que las clases de Cálculo impartidas por los matemáticos son demasiado abstractas, que se hace demasiado énfasis en las demostraciones y en ¡la definición de límite!, mientras que ellos requieren, casi de inmediato, que el estudiante esté familiarizado con las técnicas de derivación e integración a un nivel de comprender una descripción de fenómenos modelados con ecuaciones diferenciales sencillas. Por otro lado, cuando se hace mayor énfasis en el manejo operativo del Cálculo, se ve que los estudiantes tienen dificultades para comprender temas más complicados, por su falta de madurez en el manejo de conceptos.

En este semestre vamos situarnos en un justo medio: adquirir experiencia con las definiciones, demostraciones y modo de pensar, y también obtener soltura y confianza en el manejo de los instrumentos, sin olvidar un pequeño detalle: ¡existen las computadoras!

Programa de estudios

A grandes rasgos, el temario del curso es:

1. Introducción
2. El lenguaje de los conjuntos
3. Algo de lógica
4. Relaciones
5. Funciones
6. La recta numérica
7. Funciones reales
8. El concepto de límite
9. Continuidad
10. La función derivada
11. Aproximación lineal
12. Gráficas de funciones
13. Optimización

El comienzo

El temario oficial comienza el curso con Funciones reales; se alega que los temas que le preceden, en el listado anterior, pertenecen a la materia de Álgebra superior. Quizá sea así, pero la experiencia me dice que la curva de aprendizaje en el primer semestre de la Facultad, es muy empinada, y que sin un tratamiento adecuado de Conjuntos, Lógica, Relaciones y Funciones, no es posible lograr un desempeño adecuado en los temas que le siguen.

Así, emplearemos un par de semanas, quizá tres, con los temas del 1 al 5.

Para esta primera parte, usaré mi libro Conjunto, Lógica y Funciones, de libre descarga en formato PDF, en https://clf.mi-libro.club/.

Con el material del libro organicé un curso de Conjuntos en Moodle, pueden echarle un ojo, https://cursos.lopez-mateos.net/ (se agradecen comentarios).

En esta otra obra, MateCompu, el tema de lógica está más orientado a circuitos, se recomienda para las personas interesadas en cómputo. Está para libre descarga, https://matecompu.mi-libro.club/.

Para consultar dudas, y ayudar a resolverlas, sobre este material preliminar, incluido en el llamado PreCálculo, que consta de Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica, Conjuntos, Lógica y Funciones, habilité el grupo PreCálculo en Facebook, https://www.facebook.com/groups/pprecalculo.

Para temas propiamente de Cálculo, pueden consultar dudas, y ayudar a resolverlas, en el grupo de Facebook, https://www.facebook.com/groups/CalDifeInt.

Entrando en materia

Desde mi punto de vista, hay dos momentos (y dos estilos) para tratar el tema de la Recta numérica.

Un primer momento de abordar el tema es justo antes de comenzar el curso de Cálculo, y el otro es antes de comenzar el tema de Integración.

En el primer momento, en la cuarta semana de clases, partiremos de los números naturales que nos sirven para contar, pasando por los racionales, usados para repartir y llegamos a los reales, que usamos para medir. Esbozaremos la manera como se construye cada conjunto y veremos algunas características de su estructura algebraica. Esta presentación sencilla de los números en la recta real es el tema de mi folleto Matemáticas Básicas, disponible en https://matbas.mi-libro.club/.

Claro, según transcurre el curso, se añaden propiedades interesantes de subconjuntos de números reales. Pero la ocasión propicia para verlos con más detenimiento, es antes de tema de Integración, al principio del curso de Cálculo II. En ese momento, las personas tienen una cierta madurez que facilita comprender los conceptos de encaje de intervalos, cómo usarlos para demostrar importantes teoremas; y para ver construcciones de los reales usando cortaduras o también sucesiones. Ilustro dicho tipo de demostraciones en el folleto Propiedades básicas del análisis en R, disponible en https://propbas.mi-libro.club/.

La construcción rigurosa de los números reales es tema del curso de Análisis Matemático I.

Ahora sí

A estas alturas, en la semana 5, estamos comenzando el temario oficial, poco más de un mes después del inicio de cursos. Ya estamos preparados para avanzar con facilidad en el tema de Funciones reales (les será de utilidad hojear mi folleto Funciones Reales, disponible para libre descarga, en https://funrel.mi-libro.club/) y atacar el temible concepto de Límite.

Lo más probable es que empleemos la semana 6 del curso en el concepto de Límite. Así como el tema de los números reales, hay dos maneras de ver Límite. Aunque en la práctica hay que enfrentarse con problemas algebraicos de resolución de desigualdades con valores absolutos, que siempre ocasiona confusión, he comprobado que las cosas se facilitan si se comprende la definición topológica del concepto de límite. Sobre la definición, está mi famoso folleto Límite, de muy útil lectura, disponible en https://limite.mi-libro.club/.

Y de aquí, para adelante. El resto del temario se tratará siguiendo un libro clásico, que sin perder de vista el planteamiento teórico, tiene multitud de ejemplos y ejercicios con aplicaciones a la resolución de diversos tipos de problemas.

Libro de texto

• George B. Thomas, Jr. CÁLCULO, una variable. Decimosegunda edición. Addison-Wesley. 2010.

Además de las obras citadas anteriormente, de indudable beneficio pedagógico, cuya consulta servirá para aclarar dudas, la resolución de los problemas planteados en el libro de texto será la actividad que nos permitirá asentar los conocimientos adquiridos en el curso.

El objetivo del curso, es que las personas que lo sigan, adquieran soltura para manejar los primeros cuatro capítulos del libro de Thomas. Se recomienda, si quieren adquirir filo para una estancia agradable en la Facultad, que resuelvan todos los ejercicios. Estudien en grupo, consulten, investiguen, pero no dejen ningún ejercicio sin resolver. Su futuro se los agradecerá.

Libros de consulta

• Richard Courant. Differential and Integral Calculus. Volume I. Second Edition. Blackie & Son Limited. 1937.
  https://bit.ly/3uIABRD
• Godfrey Harold Hardy. A Course of Pure Mathematics. Third Edition. Cambridge, at the University Press. 1921.
  https://bit.ly/34rqeqt
• Serge Lang. Cálculo. Addison-Wesley Iberoamericana. 1990.
  https://bit.ly/3Lq0OdE
• James Pierpont. Lectures on The Theory of Functions of Real Variables. Volume I. Ginn And Company. 1905.
  https://bit.ly/3rFl9DT
• Nikolai Semenovich Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. Tomo I. Editorial Mir. 1977.
  https://bit.ly/3rEdPIH

Recursos en Internet

• Curso de Pre-University Calculus, Cálculo de Bachillerato, de la Delft University of Technology. Bueno para repasar y practicar ejercicios.
  https://www.edx.org/course/pre-university-calculus-2
• David Jerison. 18.01SC Single Variable Calculus. Fall 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare. License: Creative Commons BY-NC-SA.
  https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/
• Muy recomendable, desde el primer semestre, entregar tareas y trabajos en formato PDF, obtenidos de documentos en LaTeX. Tutorial producido en la facultad:
  http://sistemas.fciencias.unam.mx/~misraim/notas.pdf
• The Python Tutorial
  https://docs.python.org/3/tutorial/

Evaluación

A reserva de platicar en la primera sesión, la manera de llevar el curso, se pide a las personas inscritas, que más de ocuparse por una calificación, se preocupen por aprender. La calificación viene de pilón.

Les recomiendo que consulten con frecuencia, ya sea con Alejandra o conmigo (o con otras personas). Aunque se pedirá que entreguen las tareas, el punto es que las hagan (no que las copien para entregarlas).

Para obtener la nota final, se realizará una evaluación oral individual cada cuatro semanas. A la brevedad se dará la fecha de cada evaluación.